Para demonstrar o limite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = 1 \]
utilizaremos dois métodos: a expansão em série de Taylor e a definição da derivada. A expansão em série nos permitirá analisar o comportamento da função para valores pequenos de \( x \), enquanto a definição da derivada nos fornecerá uma confirmação alternativa.
Expansão em Série de Taylor
Utilizamos a expansão em série de Taylor das funções exponenciais:
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + O(x^4) \]
\[ e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + O(x^4) \]
Subtraindo as duas expressões:
\[ e^x - e^{-x} = 2x + \frac{x^3}{3} + O(x^4) \]
Dividindo por \(2x\):
\[ \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = 1 + \frac{x^2}{6} + O(x^3) \]
Cálculo do Limite
Calculando o limite quando \(x\) tende a zero:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = 1 + 0 = 1 \]
Verificação com a Definição da Derivada
Observamos que a função no numerador é justamente a definição da derivada da função \( f(x) = e^x \) avaliada em \( x = 0 \):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} \]
Como é sabido que \( \lim_{x \to 0} \displaystyle \frac{\sinh x}{x} = 1 \), obtemos novamente o resultado.