O seguinte limite é de importância fundamental, pois aparece frequentemente no estudo das derivadas, dos limites e nas aproximações das funções trigonométricas.
Apresentaremos duas demonstrações: uma baseada no Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema dos Carabinieri), que utiliza uma comparação geométrica, e outra usando a Série de Taylor, que emprega o desenvolvimento em série da função cosseno.
O limite que queremos demonstrar é o seguinte:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 \]
Demonstração com o Teorema do Confronto
Consideremos o círculo unitário e um ângulo \( x \) em radianos. Sabe-se que:
\[ \sin(x) < x < \tan(x), \quad \text{para } x \in (0, \frac{\pi}{2}). \]
Dividindo por \( \sin(x) \):
\[ 1 < \frac{x}{\sin(x)} < \frac{\tan(x)}{\sin(x)}. \]
Podemos reescrever a fração:
\[ \frac{\tan(x)}{x} = \frac{\sin(x)}{x} \cdot \frac{1}{\cos(x)}. \]
Como se sabe que:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1, \quad \text{e} \quad \cos(x) \to 1, \]
então também o recíproco \( \frac{1}{\cos(x)} \) tende a \( 1 \), e concluímos:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1. \]
Demonstração com as Séries de Taylor
Utilizamos os desenvolvimentos de Taylor das funções seno e cosseno:
\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5), \] \[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4). \]
Calculamos o recíproco de \( \cos(x) \) usando o desenvolvimento em série de \( \frac{1}{1 - u} \):
\[ \frac{1}{\cos(x)} = 1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4). \]
Agora multiplicamos por \( \sin(x) \):
\[ \tan(x) = (x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) \cdot (1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4)). \]
Expandimos os termos principais:
\[ \tan(x) = x + \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} + O(x^5). \]
Como
\[ \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} = \frac{x^3}{3}, \]
temos
\[ \tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5). \]
Dividindo por \( x \):
\[ \frac{\tan(x)}{x} = 1 + \frac{x^2}{3} + O(x^4). \]
Como o termo \( \frac{x^2}{3} + O(x^4) \) tende a zero quando \( x \to 0 \), segue-se que:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1. \]