O seguinte limite notável é de importância fundamental, pois aparece frequentemente no cálculo de limites, no estudo das derivadas e nas aproximações de funções trigonométricas.
Apresentaremos duas demonstrações: uma baseada em uma identidade trigonométrica, que explora a relação entre o seno e o cosseno, e outra utilizando o desenvolvimento em série de Taylor da função cosseno.
O limite notável que queremos demonstrar é o seguinte:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} \]
Identidade trigonométrica
Utilizamos a identidade:
\[ 1 - \cos(x) = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right). \]
Reescrevemos o limite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}. \]
Manipulamos a expressão:
\[ \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = 2 \cdot \frac{\sin^2(x/2)}{(x/2)^2} \cdot \frac{(x/2)^2}{x^2}. \]
Utilizando o limite notável:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x/2)}{(x/2)} = 1, \]
obtemos:
\[ \lim_{x \to 0} 2 \cdot 1^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}. \]
Desenvolvimento de Taylor
O desenvolvimento em série de Taylor de \( \cos(x) \) é:
\[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4). \]
De onde se deduz:
\[ 1 - \cos(x) = \frac{x^2}{2} + O(x^4). \]
Agora substituímos no limite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + O(x^4)}{x^2}. \]
Separando os termos:
\[ \lim_{x \to 0} \left(\frac{x^2}{2x^2} + \frac{O(x^4)}{x^2}\right) = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{2} + O(x^2)\right). \]
Como \( O(x^2) \to 0 \) quando \( x \to 0 \), o limite é:
\[ \frac{1}{2}. \]