Um dos limites mais frequentemente encontrados diz respeito à função raiz quadrada, que pode ser demonstrado elegantemente através da racionalização do denominador, uma técnica que elimina eficazmente as formas indeterminadas. Demonstraremos rigorosamente que:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} = \frac{1}{2} \]
Racionalização do Numerador
O numerador \( \sqrt{1 + x} - 1 \) contém uma expressão radical, que eliminaremos multiplicando tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado \( \sqrt{1 + x} + 1 \):
\[ \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x} + 1}{\sqrt{1 + x} + 1}. \]
Expandindo o numerador através da identidade da diferença de quadrados:
\[ (\sqrt{1 + x} - 1)(\sqrt{1 + x} + 1) = (1 + x) - 1 = x. \]
O denominador torna-se:
\[ x (\sqrt{1 + x} + 1). \]
Simplificando a expressão:
\[ \frac{x}{x (\sqrt{1 + x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1}. \]
Avaliando o limite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}. \]
Confirmação através da Derivada
Uma abordagem alternativa utiliza a definição fundamental da derivada. Observamos que o limite proposto apresenta a forma do quociente diferencial que define a derivada:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(0+x) - f(0)}{x} \]
Onde \( f(x) = \sqrt{1 + x} \) e \( f(0) = 1 \).
Recordemos que a definição formal da derivada de uma função \( f(x) \) no ponto \( x_0 \) é dada por:
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]
No nosso caso específico, o limite original corresponde exatamente à derivada de \( f(x) = \sqrt{1 + x} \) avaliada em \( x = 0 \).
Calculando esta derivada:
\[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x}}. \]
Avaliando em \( x = 0 \):
\[ f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}. \]
Portanto:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} = f'(0) = \frac{1}{2}. \]
Estabelecemos formalmente o limite através do método de racionalização e verificamos posteriormente o resultado reconhecendo que o limite representa precisamente a derivada da função \( f(x) = \sqrt{1 + x} \) no ponto \( x = 0 \), garantindo assim uma demonstração impecável e rigorosa.