Limites deste tipo são frequentemente encontrados no cálculo de limites com polinômios ou razões de polinômios, especialmente quando se analisa o comportamento de funções racionais para valores muito grandes de \(x\).
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} \]
Caso \( n > 0 \)
Queremos demonstrar que:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0 \quad \text{para todo } n > 0. \]
Definição de limite: para cada \( \varepsilon > 0 \), existe \( X > 0 \) tal que se \( x > X \), então:
\[ \left| \frac{1}{x^n} - 0 \right| < \varepsilon. \]
Mas como \( \frac{1}{x^n} \) é sempre positivo, podemos reescrever:
\[ \frac{1}{x^n} < \varepsilon. \]
Agora, basta escolher \( X \) tal que:
\[ X = \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)^{\frac{1}{n}}. \]
Se \( x > X \), então:
\[ x > \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)^{\frac{1}{n}} \quad \Rightarrow \quad x^n > \frac{1}{\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x^n} < \varepsilon. \]
Portanto, pela definição de limite, obtemos:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0. \]
Caso \( n = 0 \)
Se \( n = 0 \), então a expressão torna-se simplesmente:
\[ \frac{1}{x^0} = 1. \]
Sendo constante, o limite é:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^0} = 1. \]
Caso \( n < 0 \)
Se \( n < 0 \), podemos escrever \( n = -m \) com \( m > 0 \). Neste caso:
\[ \frac{1}{x^n} = \frac{1}{x^{-m}} = x^m. \]
Como \( x^m \to \infty \) quando \( x \to \infty \), segue-se que:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = \infty. \]
Resumamos os três casos:
- Se \( n > 0 \), então \( \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{1}{x^n} = 0 \).
- Se \( n = 0 \), então \( \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{1}{x^n} = 1 \).
- Se \( n < 0 \), então \( \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{1}{x^n} = \infty \).
Esta propriedade é útil para estudar o comportamento assintótico de funções racionais.
Exercício sobre Limite Notável
Calcule o seguinte limite:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 7}{2x^5 + 4x^2 + 1}. \]
Solução. Vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador pela maior potência de \( x \) presente no denominador, que é \( x^5 \):
\[ \frac{5x^3 + 7}{2x^5 + 4x^2 + 1} = \frac{\displaystyle \frac{5x^3}{x^5} + \displaystyle \frac{7}{x^5}}{\displaystyle \frac{2x^5}{x^5} + \displaystyle \frac{4x^2}{x^5} + \displaystyle \frac{1}{x^5}}. \]
Simplificando:
\[ = \frac{5 \cdot \displaystyle \frac{1}{x^2} + 7 \cdot \displaystyle \frac{1}{x^5}}{2 + 4 \cdot \displaystyle \frac{1}{x^3} + \displaystyle \frac{1}{x^5}}. \]
Agora vamos aplicar o limite. Como sabemos que \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0 \) para todo \( n > 0 \), obtemos:
\[ = \frac{5 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{2 + 4 \cdot 0 + 0} = \frac{0}{2} = 0. \]
Resultado
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 7}{2x^5 + 4x^2 + 1} = 0. \]
Este exercício mostra como o limite notável é útil para analisar o comportamento de funções racionais quando \( x \to \infty \).