O seguinte limite mostra que o crescimento da função exponencial \( e^x \) é muito mais rápido do que qualquer polinômio \( x^n \). Este resultado é fundamental em análise matemática e é usado na teoria das ordens de grandeza e na complexidade computacional.
Vamos demonstrar que:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \]
Critério de L'Hôpital
Consideremos a função:
\[ f(x) = \frac{x^n}{e^x} \]
Aplicamos o critério de L'Hôpital, derivando numerador e denominador \( n \) vezes:
- O numerador, após \( n \) derivações, torna-se \( n! \);
- O denominador \( e^x \) permanece inalterado.
Portanto, temos:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0 \]
Comparação das ordens de grandeza
Outra forma de demonstrar o limite é notar que a função \( e^x \) pode ser escrita como sua série de Taylor:
\[ e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \]
Consideremos os termos até \( k = 2n \):
\[ e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^{2n}}{(2n)!} > \frac{x^{2n}}{(2n)!} \]
Portanto:
\[ \frac{x^n}{e^x} < \displaystyle \frac{x^n}{\displaystyle \frac{x^{2n}}{(2n)!}} = \frac{(2n)!}{x^n} \]
Como \( \displaystyle \frac{(2n)!}{x^n} \to 0 \) quando \( x \to \infty \), segue-se que \( \displaystyle \frac{x^n}{e^x} \to 0 \).
Método assintótico
Também podemos utilizar uma abordagem assintótica. Observamos que a razão entre as duas funções é:
\[ \frac{x^n}{e^x} = e^{n \ln x - x} \]
Para \( x \) suficientemente grande, o termo \( n \ln x - x \) torna-se negativo e decresce indefinidamente, portanto \( e^{n \ln x - x} \to 0 \), e o limite está demonstrado.