O teorema da permanência do sinal para funções afirma que, se uma função real \( f \) tem um limite \( L \neq 0 \) para \( x \to x_0 \), existe uma vizinhança de \( x_0 \) tal que a função \( f(x) \) mantém o mesmo sinal de \( L \) para todos os valores de \( x \) nessa vizinhança (excluindo, eventualmente, \( x_0 \)). Por outras palavras:
\[ \lim_{x\to x_0} f(x) = L > 0 \, \implies \, \exists \delta > 0 \, : \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \, , \, f(x) > 0 \]
Se pelo contrário \( L < 0 \), então:
\[ \lim_{x\to x_0} f(x) = L < 0 \, \implies \, \exists \delta > 0 \, : \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \, , \, f(x) < 0 \]
Recordemos a definição de limite:
\[ \lim_{x\to x_0} f(x) = L \, \iff \, \forall \epsilon > 0 \,\, \exists \delta > 0 \, : \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \, , \, |f(x) - L| < \epsilon \]
Em particular, escolhido \( \displaystyle \epsilon = \frac{|L|}{2} \), tem-se
\[ L - \frac{|L|}{2} < f(x) < L + \frac{|L|}{2} \]
Agora, observemos que:
- Se \( L > 0 \), então
\[ \left( L - \frac{L}{2} \right) = \frac{L}{2} < f(x) < \frac{3L}{2} = \left( L + \frac{L}{2} \right) \qquad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \]
- Se \( L = -|L| < 0 \), então
\[ \left( -|L| - \frac{|L|}{2} \right) = -\frac{3|L|}{2} < f(x) < -\frac{|L|}{2} = \left( -|L| + \frac{|L|}{2} \right) \qquad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \]
Em ambos os casos, numa vizinhança de \( x_0 \), os valores da função \( f(x) \) têm o mesmo sinal de \( L \).
Exercício 1. Tomemos \( f(x) = e^x \). Calculamos o limite para \( x \to 0 \):
\[ \lim_{x \to 0} e^x = e^0 = 1 \]
Tomado \( \epsilon = \displaystyle \frac{1}{2} \), tem-se:
\[ |e^x - 1| < \frac{1}{2} \]
Isto implica:
\[ -\frac{1}{2} < e^x - 1 < \frac{1}{2} \]
Adicionando 1 a todos os membros:
\[ \frac{1}{2} < e^x < \frac{3}{2} \]
Concluímos que numa vizinhança de \(x = 0\), a função \(e^x\) assume valores positivos.
Exercício 2. Calculamos o limite para \( x \to 2 \) da função logarítmica \( f(x) = \ln(x) \). Temos:
\[ \lim_{x \to 2} \ln(x) = \ln(2) \]
Agora, tomado \( \displaystyle \epsilon = \frac{\ln(2)}{2} \):
\[ |\ln(x) - \ln(2)| < \frac{\ln(2)}{2} \]
Isto implica:
\[ \displaystyle \ln(2) - \frac{\ln(2)}{2} < \ln(x) < \ln(2) + \frac{\ln(2)}{2} \]
Finalmente, simplificando:
\[ \frac{\ln(2)}{2} < \ln(x) < \frac{3\ln(2)}{2} \]
Portanto, numa vizinhança de \(x = 2\) a função \( \ln(x) \) assume valores positivos.
Exercício 3. Seja \( f(x) = e^x - 1 \). Calculamos o limite para \( x \to 1 \):
\[ \lim_{x \to 1} (e^x - 1) = e - 1 \]
Tomemos \( \displaystyle \epsilon = \frac{e - 1}{2} \):
\[ |(e^x - 1) - (e - 1)| < \frac{e - 1}{2} \]
Isto implica:
\[ e - 1 - \frac{e - 1}{2} < e^x - 1 < e - 1 + \frac{e - 1}{2} \]
Simplificando:
\[ \frac{e - 1}{2} < e^x - 1 < \frac{3(e - 1)}{2}. \]
Finalmente:
\[ 1 + \frac{e - 1}{2} < e^x < 1 + \frac{3(e - 1)}{2}. \]
Portanto, numa vizinhança de \(x = 1\), tanto \(e^x\) como \(f(x) = e^x - 1\) assumem valores positivos, confirmando o teorema.