Nesta página veremos como calcular a derivada da função exponencial utilizando duas formas equivalentes para expressar o quociente incremental: para \( h \to 0 \) e para \( x \to x_0 \). Formalmente, como:
\[ \lim_{h \to 0}\frac{a^{x + h} - a^x}{h} \quad , \quad \lim_{x \to x_0}\frac{a^x - a^{x_0}}{x - x_0} \]
Índice
- Limite do quociente incremental para \( h \to 0 \)
- Limite do quociente incremental para \( x \to x_0 \)
Limite do quociente incremental para \( h \to 0 \)
Calculemos a derivada da função exponencial \(f(x) = a^x\) como limite do quociente incremental:
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x_0 + h} - a^{x_0}}{h} \]
Reescrevemos o termo \( a^{x_0 + h} = a^{x_0} \cdot a^h \), portanto:
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x_0} \cdot a^h - a^{x_0}}{h} \]
Agora podemos extrair \( a^{x_0} \) do numerador:
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} \]
O limite que resta é o seguinte:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = \ln(a) \]
Portanto, a derivada da função exponencial é:
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \ln(a) \]
Limite do quociente incremental para \( x \to x_0 \)
Aplicamos a definição de derivada à função \(f(x) = a^x\), obtendo:
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{a^x - a^{x_0}}{x - x_0} \]
Reescrevemos \( a^x = a^{x_0} \cdot a^{x - x_0} \), portanto:
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{x \to x_0} \frac{a^{x - x_0} - 1}{x - x_0} \]
Introduzimos uma variável auxiliar \( u = x - x_0 \) (embora não seja necessário), visto que quando \( x \to x_0 \), \( x - x_0 \to 0 \). Desta forma, o limite torna-se:
\[ L = \lim_{x \to x_0} \frac{a^{x - x_0} - 1}{x - x_0} = \lim_{u \to 0} \frac{a^u - 1}{u} = \ln(a) \]
O valor de \( L \) é o logaritmo natural da base \( a \), ou seja \( \ln(a) \). Portanto, a derivada da função exponencial é:
\[ f'(x) = a^x \cdot \ln(a) \quad , \quad \forall x \in \mathbb{R} \]