Nesta página veremos como calcular a derivada do logaritmo natural utilizando duas formas equivalentes para expressar o quociente de diferenças: para \( h \to 0 \) e para \( x \to x_0 \). Formalmente, como:
\[ \lim_{h \to 0}\frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h}, \quad \lim_{x \to x_0}\frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} \]
- Limite do quociente de diferenças para \( h \to 0 \)
- Limite do quociente de diferenças para \( x \to x_0 \)
Limite do quociente de diferenças para \( h \to 0 \)
Aplicando esta definição à função \( \ln(x) \), obtemos:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h} \quad ( * ) \]
Utilizando a propriedade dos logaritmos, podemos reescrever o numerador em \( ( * ) \) como:
\[ \ln(x + h) - \ln(x) = \ln\left(\frac{x + h}{x}\right) \]
Portanto,
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)}{h} \]
Para simplificar ainda mais, observamos que esta última expressão oculta um limite notável. Se fizermos \( t = \frac{h}{x} \), então \( h = x t \). Consequentemente, quando \( h \to 0 \), também \( t \to 0 \). Portanto
\[ f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} \stackrel{\text{Limite Notável}}{=} \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x} \]
Encontramos então que a derivada de \( \ln(x) \) é
\[ f'(x) = \frac{1}{x}, \quad \forall x > 0 \]
Limite do quociente de diferenças para \( x \to x_0 \)
Da mesma forma, calculamos o limite quando \( x \to x_0 \). Utilizando esta definição, o limite do quociente de diferenças é
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} \]
Aproveitamos a propriedade dos logaritmos \( \ln( x ) - \ln(x_0) = \ln \left (\frac{x}{x_0} \right ) \). O numerador torna-se:
\[ \ln(x) - \ln(x_0) = \ln\left(\frac{x}{x_0}\right) \]
Portanto,
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\ln\left(\frac{x}{x_0}\right)}{x - x_0} \qquad (*) \]
Para simplificar, fazemos \( u = x - x_0 \), implicando que \( x = x_0 + u \). Quando \( x \to x_0 \), também \( u \to 0 \).
Substituindo \( x = x_0 + u \) no limite \( (*) \), temos
\[ f'(x_0) = \lim_{u \to 0} \frac{\ln\left(\frac{x_0 + u}{x_0}\right)}{u} \]
O argumento do logaritmo pode ser reescrito de modo a identificar mais facilmente o limite notável que nos permitirá calcular a derivada que estamos procurando.
\[ f'(x_0) = \lim_{u \to 0} \frac{\ln\left(1 + \frac{u}{x_0}\right)}{u} \]
Se fizermos \( t = \frac{u}{x_0}\), então \( u = x_0 t \). Além disso \( u \to 0 \) implica \( t \to 0 \):
\[ f'(x_0) = \frac{1}{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} \stackrel{\text{Limite Notável}}{=} \frac{1}{x_0} \cdot 1 = \frac{1}{x_0} \]
Concluímos que, tal como no caso anterior, a derivada de \( \ln(x) \) é:
\[ f'(x) = \frac{1}{x}, \quad \forall x > 0 \]