O Teorema de Weierstrass afirma que uma função contínua definida num intervalo fechado e limitado necessariamente atinge um valor máximo e um valor mínimo.
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Teorema de Weierstrass
Seja \( f : [a, b] \to \mathbb{R} \) uma função contínua num intervalo fechado e limitado \( [a,b] \subseteq \mathbb{R} \). Então \( f \) é limitada e atinge o máximo e mínimo absolutos em \( [a,b] \).
Demonstração. Consideremos o conjunto dos valores tomados pela função \( f \) em \( [a,b] \), que denotamos por \( f([a,b]) \). Visto que \( f \) é contínua em \( [a,b] \), a imagem de \( f \) é fechada. Além disso, sendo \( [a,b] \) um intervalo fechado e limitado, \( f([a,b]) \) resulta também num conjunto limitado.
Definimos:
\[ M = \sup f([a,b]) \quad \text{e} \quad m = \inf f([a,b]). \]
O nosso objectivo é mostrar que existem pontos \( x_M, x_m \in [a,b] \) tais que: \[ f(x_M) = M \quad \text{e} \quad f(x_m) = m. \]
Existência do máximo
Pela definição de \( M \) como supremo, existe uma sucessão de valores \( \{ y_n \} \subseteq f([a,b]) \) tal que \( y_n \to M \). Isto implica que existe uma sucessão de pontos \( \{ x_n \} \subseteq [a,b] \) para a qual: \[ f(x_n) = y_n \to M. \] A sucessão \( \{ x_n \} \) está contida no intervalo compacto \( [a,b] \), portanto, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, admite uma subsucessão \( \{ x_{n_k} \} \) convergente para um ponto \( x \in [a,b] \).
Pela continuidade de \( f \), tem-se: \[ f(x_{n_k}) \to f(x). \] Mas como \( f(x_{n_k}) \to M \), segue-se que: \[ f(x) = M. \] Portanto, existe pelo menos um ponto \( x_M \in [a,b] \) tal que \( f(x_M) = M \).
Existência do mínimo
Agora demonstramos a existência do mínimo com o mesmo procedimento. Pela definição de \( m \) como ínfimo, existe uma sucessão \( \{ z_n \} \subseteq f([a,b]) \) tal que \( z_n \to m \). Portanto existe uma sucessão de pontos \( \{ w_n \} \subseteq [a,b] \) para a qual: \[ f(w_n) = z_n \to m. \] Também neste caso, a sucessão \( \{ w_n \} \) está contida em \( [a,b] \). Aplicando novamente o teorema de Bolzano-Weierstrass, existe uma subsucessão \( \{ w_{n_k} \} \) que converge para um ponto \( x' \in [a,b] \).
Pela continuidade de \( f \), tem-se: \[ f(w_{n_k}) \to f(x'). \] Visto que \( f(w_{n_k}) \to m \), deduz-se que: \[ f(x') = m. \] Consequentemente, existe um ponto \( x_m \in [a,b] \) tal que \( f(x_m) = m \).
Demonstrámos que a função contínua \( f \) definida num intervalo fechado e limitado \( [a,b] \) é limitada e atinge os seus valores máximo e mínimo em pelo menos um ponto de \( [a,b] \).