O Teorema de Lagrange, também conhecido como teorema do valor médio, é um resultado fundamental em análise matemática. Este teorema afirma que, dada uma função contínua em um intervalo fechado \( [a, b]\) e diferenciável em \( (a, b) \), existe pelo menos um ponto em que a derivada coincide com a razão incremental entre os extremos do intervalo. A demonstração baseia-se no Teorema de Rolle e na construção de uma função auxiliar.
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Teorema de Lagrange (ou do Valor Médio)
Seja \( f : [a,b] \to \mathbb{R} \) uma função contínua em \([a,b]\) e diferenciável em cada ponto de \( (a,b) \). Então, existe pelo menos um ponto \( \xi \in (a,b) \) tal que:
\[ f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
Demonstração. Para demonstrar este teorema, construímos uma função auxiliar \(F(x)\) que nos permitirá aplicar o Teorema de Rolle. Definimos:
\[ F(x) = f(x) - \left[f(a) + (x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right] \]
Esta função \(F(x)\) é a diferença entre \(f(x)\) e a reta que passa pelos pontos \((a,f(a))\) e \((b,f(b))\). É fácil verificar que \(F(a) = F(b) = 0\). Além disso, \(F\) é contínua em \([a,b]\) e diferenciável em \((a,b)\), herdando essas propriedades de \(f\).
Aplicando o Teorema de Rolle a \(F\), existe pelo menos um ponto \(\xi \in (a,b)\) tal que \(F'(\xi) = 0\). Calculando a derivada de \(F\) obtemos:
\[ F'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
Portanto, \(F'(\xi) = 0\) implica a afirmação do teorema. Este ponto \( \xi \) não é necessariamente único.
Corolários do Teorema de Lagrange
Corolário 1. Se uma função tem derivada zero em cada ponto de um intervalo, então a função é constante nesse intervalo.
Demonstração. Fixamos um ponto \(x_0\) no intervalo. Para cada outro ponto \(x\), aplicando o teorema de Lagrange ao intervalo \([x_0,x]\), obtemos:
\[ f(x) - f(x_0) = f'(\xi)(x - x_0) = 0 \]
Portanto, \(f(x) = f(x_0)\) para todo \(x\) no intervalo.
Corolário 2. Se \(f\) é diferenciável em um intervalo \(I\) e \(f'(x) \geq 0\) para todo \(x \in I\), então \(f\) é não decrescente em \(I\). Analogamente, se \(f'(x) \leq 0\), então \(f\) é não crescente. Se \(f'(x) > 0\) para todo \(x \in I\), então \(f\) é estritamente crescente; se \(f'(x) < 0\), então \(f\) é estritamente decrescente.
Demonstração. Tomando dois pontos quaisquer \(x_1 < x_2\) em \(I\), o teorema de Lagrange nos diz que:
\[ f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1) \geq 0 \]
Pois \(f'(\xi) \geq 0\) e \(x_2 - x_1 > 0\). Portanto, \(f(x_2) \geq f(x_1)\). Se \(f'(\xi) > 0\), então \(f(x_2) > f(x_1)\).
Corolário 3. Se \(f\) é contínua em \([a,b]\), diferenciável em \((a,b)\) e \(m_1 \leq f'(x) \leq m_2\) para todo \(x \in (a,b)\), então:
\[ m_1(x - a) \leq f(x) - f(a) \leq m_2(x - a) \]
Demonstração. Aplicando o teorema de Lagrange, sabemos que existe \(\xi\) entre \(a\) e \(x\) tal que:
\[ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(\xi) \]
E, como \(m_1 \leq f'(\xi) \leq m_2\), a afirmação segue imediatamente.