As sequências monótonas (tanto as crescente quanto as decrescente) possuem uma propriedade muito importante: elas sempre possuem limite, seja finito ou infinito. Este resultado, conhecido como teorema do limite de uma sequência monótona, nos diz precisamente que uma sequência crescente converge para o seu supremo, enquanto uma sequência decrescente converge para o seu ínfimo.
Índice
Teorema (limite de uma sequência monótona). Seja \( \{ a_n \} \) uma sequência monótona. Então ela possui limite, e temos:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \begin{cases} \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n \in \mathbb{R} \cup \{ +\infty \} & \text{se } \{ a_n \} \text{ é crescente,} \\[1mm] \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n \in \mathbb{R} \cup \{ -\infty \} & \text{se } \{ a_n \} \text{ é decrescente.} \end{cases} \]
Demonstração para \( a_n \) Crescente
Demonstração (para \( \{ a_n \} \) crescente). Seja \( S = \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n \). Pela definição de supremo:
\[\forall n \in \mathbb{N} \quad : \quad a_n \leq S\]
\[\forall \varepsilon > 0 \quad \exists k \in \mathbb{N} \quad : \quad S - \varepsilon < a_k\]
Como a sequência é crescente, para todo \( n \geq k \) temos:
\[ S - \varepsilon < a_k \leq a_n \leq S \]
Portanto:
\[ |a_n - S| < \varepsilon \quad \forall n \geq k \]
Assim, \(\lim_{n \to \infty} a_n = S = \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Se, entretanto, \( S = +\infty \), então \(\{a_n\}\) não possui majorantes e, portanto,
\[\forall M > 0 \quad \exists \nu \in \mathbb{N} \quad : \quad a_\nu > M;\]
devido à propriedade crescente de \(\{a_n\}\), segue que
\[ a_n \geq a_\nu > M \quad \forall n \geq \nu \]
isto é, \(a_n \to +\infty\) quando \( n \to +\infty \).
Demonstração para \( a_n \) Decrescente
Demonstração (para \( \{ a_n \} \) decrescente). Seja \( L = \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n \). Pela definição de ínfimo:
\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad : \quad L \leq a_n \]
\[ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists k \in \mathbb{N} \quad : \quad L \leq a_k < L + \varepsilon \]
Como a sequência é decrescente, para todo \( n \geq k \) temos:
\[ L \leq a_n \leq a_k < L + \varepsilon \]
Portanto:
\[ |a_n - L| < \varepsilon \quad \forall n \geq k \]
Assim, \(\lim_{n \to \infty} a_n = L = \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Se, entretanto, \( L = -\infty \), então \(\{a_n\}\) não possui minorantes e, portanto,
\[\forall M > 0 \quad \exists \nu \in \mathbb{N} \quad : \quad a_\nu < -M;\]
devido à propriedade decrescente de \(\{a_n\}\), segue que
\[ a_n \leq a_\nu < -M \quad \forall n \geq \nu \]
isto é, \(a_n \to -\infty\) quando \( n \to +\infty \).
Em ambos os casos, demonstramos que o limite existe e é igual ao supremo no caso de uma sequência crescente e ao ínfimo no caso de uma sequência decrescente.