O teorema de Stolz-Cesàro constitui uma ferramenta útil para calcular o limite de um quociente de sucessões. É particularmente útil quando o denominador tende ao infinito e o cálculo do limite não é imediato. Este teorema representa uma generalização dos critérios de Cesàro e é frequentemente usado para simplificar a verificação de convergência de sucessões.
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Teorema de Stolz-Cesàro. Sejam \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) e \( \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) duas sucessões numéricas, com \( \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) que satisfaz as seguintes propriedades:
- \( b_n > 0 \) para todo \( n \in \mathbb{N} \)
- \( b_{n+1} > b_n \) para todo \( n \in \mathbb{N} \)
- \(\lim_{n\to \infty } b_n = +\infty \).
Se existe o limite:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \]
então também existe o limite:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L \]
Demonstração. Suponhamos que o limite:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \]
existe e é igual a \( L \). Devemos demonstrar que:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L \]
Consideremos a definição de limite:
\[ \forall \varepsilon > 0 \,\, \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} : \left| \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} - L \right| < \varepsilon \quad \forall n \geq n_\varepsilon \]
Multipliquemos ambos os membros por \( b_{n+1} - b_n \), que é positivo:
\[ ( L - \varepsilon)(b_{n+1} - b_n) < a_{n+1} - a_n < ( L + \varepsilon)(b_{n+1} - b_n) \]
Somemos esta desigualdade de \( k = n_\varepsilon \) até \( k = n-1 \):
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} ( L - \varepsilon)(b_{k+1} - b_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} ( L + \varepsilon)(b_{k+1} - b_k) \]
As somas são telescópicas, o que significa que os termos intermédios se anulam. Em detalhe:
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = (a_{n_\varepsilon+1} - a_{n_\varepsilon}) + (a_{n_\varepsilon+2} - a_{n_\varepsilon+1}) + \dots + (a_n - a_{n-1}) = a_n - a_{n_\varepsilon} \]
O mesmo vale para a soma dos \( b_k \):
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = b_n - b_{n_\varepsilon} \]
Portanto, a desigualdade torna-se:
\[ ( L - \varepsilon)(b_n - b_{n_\varepsilon}) < a_n - a_{n_\varepsilon} < ( L + \varepsilon)(b_n - b_{n_\varepsilon}) \]
Dividamos por \( b_n \)
\[ ( L - \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) < \frac{a_n}{b_n} - \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} < ( L + \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) \]
e reorganizemos os termos:
\[ ( L - \varepsilon) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} < \frac{a_n}{b_n} < ( L + \varepsilon) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} \]
Dado que \( b_n \to +\infty \), segue-se que:
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} = 0 \]
Finalmente, tomando o limite aos membros da desigualdade:
\[ L - \varepsilon \leq \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} \leq L + \varepsilon \]
Dado que \( \varepsilon \) é arbitrário, concluímos que:
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = L \]
Isto conclui a demonstração do Teorema de Stolz-Cesàro.
A demonstração para o caso \( n \to -\infty \) segue o mesmo raciocínio utilizado para \( n \to +\infty \), com apenas uma modificação: o intervalo da soma telescópica.
Para \( n \to +\infty \), a soma vai de \( n_\varepsilon \) até \( n-1 \):
\[ \sum_{k = n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_n - a_{n_\varepsilon} \]
Para \( n \to -\infty \), a soma vai de \( n \) até \( n_\varepsilon - 1 \):
\[ \sum_{k = n}^{n_\varepsilon - 1} (a_{k+1} - a_k) = a_{n_\varepsilon} - a_n \]
Isto reflete o facto de que \( n \to -\infty \), portanto \( n \leq n_\varepsilon \).
A parte restante da demonstração permanece inalterada, levando à conclusão:
\[ \lim_{n \to -\infty} \frac{a_n}{b_n} = L \]
Isto conclui a demonstração para \( n \to -\infty \).
Corolário I. Suponhamos que a sucessão \(\{a_n\}\) seja tal que:
\[\lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L \]
Então:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L \]
Demonstração. Trata-se de um caso particular do teorema de Stolz-Cesàro. Consideremos a sucessão \(\{b_n\}\) definida por \( b_n = n \) e observemos que \(b_{n+1} - b_n = 1\), portanto:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L \]
Finalmente, pelo teorema de Stolz-Cesàro:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L \]
Corolário II. Seja \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) uma sucessão e consideremos a sequência das suas médias, definida por
\[ \alpha_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_k \quad n \in \mathbb{N} \]
Se \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) converge para o valor \( L \), então a sucessão \( \{\alpha_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) também tende para o mesmo limite:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = L \implies \lim_{n \to \infty} \alpha_n = L \]
Demonstração. Para demonstrar este resultado, utilizamos o teorema de Stolz-Cesàro. Consideremos as sucessões
\[ c_n = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \quad b_n = n \quad n \in \mathbb{N} \]
Reescrevendo os limites, obtém-se:
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{b_n} \]
Dado que \( \{b_n\} \) é estritamente crescente e ilimitada, e \( \{c_n\} \) satisfaz as hipóteses do teorema de Stolz-Cesàro, temos:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{c_{n+1} - c_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} a_n = L \]
Do que se segue que:
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{b_n} = L \]
Corolário III. Suponhamos agora que a sucessão \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) tenha limite \( L \) e que \( a_n > 0 \) para todo \( n \). Então vale a seguinte relação:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L \]
Demonstração. Definamos uma nova sucessão
\[ b_n = \log a_n \quad n \in \mathbb{N} \]
A sucessão \( \{b_n\} \) converge para \( \log L \). As médias aritméticas de \( \{b_n\} \) são
\[ \beta_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} b_k = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \log a_k = \log \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k}. \]
Aplicando o corolário II, sabemos que
\[ \lim_{n \to \infty} \beta_n = \lim_{n \to \infty} b_n = \log L, \]
o que implica
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L \]
Corolário IV. Seja \(\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) uma sucessão de números reais estritamente positivos. Vale o seguinte resultado:
Se existe \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L\), então também existe \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L\).
Demonstração. Consideremos uma nova sucessão auxiliar \(\{b_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) definida da seguinte maneira:
\[b_n = \frac{a_n}{a_{n-1}} \quad \text{para } n \geq 1 \quad \text{e} \quad b_0 = a_0\]
Pelo corolário III sabemos que:
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^n b_k} = \lim_{n \to \infty} b_n = L\]
Observamos agora que o produto telescópico dos \(b_k\) pode ser reescrito como:
\[\sqrt[n]{\prod_{k=0}^n b_k} = \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \frac{a_k}{a_{k-1}} \cdot a_0} = \sqrt[n]{a_n}\]
Do que se segue imediatamente a tese.