Uma equação de primeiro grau é um polinômio de primeiro grau igualado a zero. Em geral, uma equação é de primeiro grau se puder ser escrita na forma canônica:
\[ ax + b = 0 \quad \text{com} \quad a \neq 0 \]
A parte à esquerda do sinal de igualdade é chamada de primeiro membro, enquanto a parte à direita é chamada de segundo membro.
Índice
- Como resolver uma equação de primeiro grau
- Primeiro princípio de equivalência
- Segundo princípio de equivalência
- Exercícios
- Erros comuns a evitar
- Significado Geométrico
Como resolver uma equação de primeiro grau
Resolver uma equação de primeiro grau significa encontrar o valor que, substituído na incógnita \( x \), satisfaz a equação. Isso equivale a dizer que o valor (solução da equação) deve tornar verdadeira a igualdade. O processo de resolução envolve alguns passos, chamados princípios de equivalência para equações.
Primeiro princípio de equivalência
O primeiro princípio de equivalência afirma que, ao adicionar ou subtrair a ambos os membros de uma equação uma quantidade ou uma expressão algébrica, o conjunto das soluções não muda.
Graças a esse princípio, podemos subtrair a quantidade \( -b \) a ambos os membros:
\[ ax = -b \]
Note que somar ou subtrair uma quantidade a ambos os membros equivale a "mover" de um membro para o outro, desde que o sinal seja trocado. Neste caso, movemos para o segundo membro \( b \) trocando seu sinal, ou seja, \( -b \).
Segundo princípio de equivalência
O segundo princípio de equivalência afirma que, ao multiplicar ou dividir ambos os membros por um mesmo número diferente de zero, o conjunto das soluções da equação não muda.
Aplicando esse princípio à equação equivalente \( ax = -b \), dividindo ambos os membros por \( a \neq 0 \), obtemos:
\[ x = -\frac{b}{a} \]
É importante ressaltar que \( a \) deve ser diferente de zero para que a equação tenha sentido. De fato, se \( a = 0 \), a equação se tornaria \( 0 \cdot x + b = 0 \), logo \( b = 0 \), o que não representa uma equação em \( x \) e seria impossível se \( b \neq 0 \).
Daqui em diante, o objetivo será isolar a variável \( x \) no primeiro membro, ou no segundo (não faz diferença).
Exercícios
Exercício 1. Resolver a equação \( 3x - 1 = 0\).
Solução. Movemos \( -1 \) para o segundo membro (mudando seu sinal):
\[ 3x = 1 \]
Finalmente, dividindo ambos os membros por \( 3 \), obtemos a solução procurada:
\[ x = \frac{1}{3} \]
Verificação. Para verificar se é a solução correta, substituímos o valor encontrado na equação original. Obtemos:
\[ 3 \cdot \frac{1}{3} - 1 = 1 - 1 = 0 \]
Portanto, a solução está correta.
Exercício 2: Resolver a equação de primeiro grau \(\displaystyle\frac{1}{2}(x-1)=-x+1\).
Solução. Começamos isolando a incógnita \( x \) no primeiro membro:
\[ \frac{1}{2}(x - 1) = -x + 1 \implies \frac{x}{2} - \frac{1}{2} = -x + 1 \]
Agora somamos \(x\) a ambos os membros da equação:
\[ \frac{x}{2} + x - \frac{1}{2} = 1 \]
Simplificamos transformando \(x\) em um termo com denominador comum:
\[ \frac{x}{2} + \frac{2x}{2} - \frac{1}{2} = 1 \implies \frac{3x}{2} - \frac{1}{2} = 1 \]
Adicionamos \(\displaystyle\frac{1}{2}\) a ambos os membros:
\[ \frac{3x}{2} = \frac{3}{2} \]
Agora multiplicamos ambos os membros por \(\displaystyle\frac{2}{3}\) para resolver para \(x\):
\[ x = 1 \]
Portanto, a solução é \( x = 1 \).
Verificação. Como antes, substituímos \( x = 1 \) na equação original:
\[ \frac{1}{2}(x - 1) = -x + 1 \]
Quando \( x = 1 \), obtemos:
\[ \frac{1}{2}(1 - 1) = -1 + 1 \]
Calculamos ambos os membros:
\[ \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \quad \text{e} \quad -1 + 1 = 0 \]
Os dois membros são iguais, portanto, a solução está correta.
Exercício 3. Resolver a equação \( 5(x - 2) - 3(2x + 1) = 7 - 4x \)
Solução. Aplicamos a propriedade distributiva:
\[ 5x - 10 - 6x - 3 = 7 - 4x \]
\[ -x - 13 = 7 - 4x \]
Movemos os termos com \(x\) para o primeiro membro e os termos constantes para o segundo:
\[ -x + 4x = 7 + 13 \]
\[ 3x = 20 \]
Dividimos ambos os membros por 3:
\[ x = \frac{20}{3} \]
Verificação. Substituímos \(\displaystyle x = \frac{20}{3}\) na equação original:
\[ 5\left(\frac{20}{3} - 2\right) - 3\left(2\cdot\frac{20}{3} + 1\right) = 7 - 4\cdot\frac{20}{3} \]
Calculamos o primeiro membro:
\[ 5\left(\frac{20}{3} - \frac{6}{3}\right) - 3\left(\frac{40}{3} + \frac{3}{3}\right) = 5\cdot\frac{14}{3} - 3\cdot\frac{43}{3} = \frac{70}{3} - \frac{129}{3} = -\frac{59}{3} \]
Calculamos o segundo membro:
\[ 7 - 4\cdot\frac{20}{3} = \frac{21}{3} - \frac{80}{3} = -\frac{59}{3} \]
Os dois membros são iguais, portanto a solução está verificada:
\[ x = \frac{20}{3} \]
Erros Comuns a Evitar
Ao resolver equações de primeiro grau, é importante prestar atenção a alguns erros frequentes:
Erro na troca de sinal: Quando se move um termo de um membro para o outro, é preciso lembrar de trocar seu sinal. Por exemplo, na equação \(2x + 3 = 5\), ao mover o \( 3 \), obtemos \(2x = 5 - 3\), e não \(2x = 5 + 3\).
Distribuição incompleta: Quando temos uma expressão do tipo \(3(x + 2)\), o coeficiente \( 3 \) deve ser multiplicado por todos os termos dentro dos parênteses. Um erro comum é escrever \(3x + 2\) em vez de \(3x + 6\).
Erros com frações: Quando temos uma equação como \(\displaystyle \frac{x}{2} = 3\), para isolar \(x\), é preciso multiplicar ambos os membros por 2, resultando em \(x = 6\). Está errado escrever \(x = \displaystyle \frac{3}{2}\).
Simplificação imprecisa: Em uma equação como \(2x - x = 5\), não devemos esquecer de simplificar os termos semelhantes antes de continuar. A forma correta é \(x = 5\).
Falta de verificação: Pular o passo da verificação pode fazer com que não percebamos erros de cálculo. É sempre recomendável substituir a solução encontrada na equação original para confirmar que está correta.
Significado Geométrico
Resolver uma equação de primeiro grau \( ax + b = 0\) significa encontrar o valor para o qual a reta da equação
\[ y = ax + b \]
intercepta o eixo das abscissas (eixo \(x\)). Por exemplo, a reta da equação \( y = 2x - 1 \)
intercepta o eixo das abscissas no ponto \( x = \displaystyle \frac{1}{2} \), como mostrado na figura.
Dissemos que a solução de uma equação de primeiro grau \( ax + b = 0 \) é a abscissa onde a reta intercepta o eixo \(x\). Agora, vamos nos perguntar: como podemos determinar o valor de \( x \) para o qual a reta \( y = ax + b \) assume um valor específico, por exemplo, \( y = 2 \)?
Para fazer isso, basta impor \( y = 2 \) na equação da reta. Obtemos assim \( 2 = 2x - 1 \iff 2x - 3 = 0 \), logo:
\[ x=\frac{3}{2} \]
Como mostrado na figura, à solução que encontramos corresponde a ordenada \(y=2\).
