As sequências numéricas e os limites de sequências são conceitos fundamentais em análise matemática. Compreender o comportamento de uma sequência quando \(n \to \pm \infty\) é crucial para determinar se uma sequência \( a_n \) é convergente, divergente ou irregular.
Índice
- Definição de Sequência Convergente
- Definição de Sequência Divergente para \(+\infty\)
- Definição de Sequência Divergente para \(-\infty\)
- Definição de Sequência Irregular
Definição de Sequência Convergente
Uma sequência \( a_n \) diz-se convergente para \( L \) se o valor absoluto da diferença entre \( a_n \) e \( L \) pode tornar-se arbitrariamente pequeno para \( n \) suficientemente grande. Intuitivamente, os termos da sequência aproximam-se indefinidamente do valor limite \( L \). Mais formalmente:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall \varepsilon > 0 \quad \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \,\,:\,\, \forall n \geq n_{\varepsilon} \quad |a_n - L| < \varepsilon \]
Geometricamente, isto significa que para todo intervalo \((L - \varepsilon, L + \varepsilon)\) centrado em \(L\), existe um ponto além do qual todos os termos da sequência caem dentro deste intervalo.
Exercício 1: Demonstrar que \( a_n = \displaystyle \frac{1}{n} \) converge para zero.
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \]
Para todo \( \varepsilon > 0 \), basta escolher \( n_{\varepsilon} > \displaystyle \frac{1}{\varepsilon} \). Então para todo \( n \geq n_{\varepsilon} \), tem-se:
\[ \left| \frac{1}{n} \right| < \varepsilon \]
Logo, a sequência converge para zero.
Exercício 2: Demonstrar que \( a_n = \displaystyle \frac{n}{n+1} \) converge para 1.
\[ \left| \frac{n}{n+1} - 1 \right| = \frac{1}{n+1} < \varepsilon \]
Isto verifica-se se \( n > \displaystyle \frac{1}{\varepsilon} - 1 \). Portanto, a sequência converge para 1.
Definição de Sequência Divergente para \(+\infty\)
Uma sequência \( a_n \) diverge para \(+\infty\) se os seus termos se tornam arbitrariamente grandes. Formalmente:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = +\infty \iff \forall M > 0 \quad \exists n_M \in \mathbb{N} \,\,:\,\, \forall n \geq n_M \quad a_n > M \]
Exercício 3: Demonstrar que \( a_n = 2n \) diverge para \(+\infty\).
\[ 2n > M \Rightarrow n > \frac{M}{2} \]
Escolhido \( n_M > \displaystyle \frac{M}{2} \), para todo \( n \geq n_M \) tem-se \( a_n = 2n > M \). Portanto, a sequência diverge para \(+\infty\).
Definição de Sequência Divergente para \(-\infty\)
Uma sequência \( a_n \) diverge para \(-\infty\) se os seus termos se tornam arbitrariamente negativos. Formalmente:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = -\infty \iff \forall M > 0 \quad \exists n_M \in \mathbb{N} \,\,:\,\, \forall n \geq n_M \quad a_n < -M \]
Exercício 4: Demonstrar que \( b_n = -3n \) diverge para \(-\infty\).
\[ -3n < -M \Rightarrow n > \frac{M}{3} \]
Escolhido \( n_M > \displaystyle \frac{M}{3} \), tem-se \( b_n < -M \). Logo, \( \lim_{n \to \infty} b_n = -\infty \).
Exercício 5: Demonstrar que \( a_n = -\ln(n) \) diverge para \(-\infty\).
\[ -\ln(n) < -M \Rightarrow n > e^M \]
Escolhido \( n_M > e^M \), tem-se \( a_n = -\ln(n) < -M \). Portanto, a sequência diverge para \(-\infty\).
Definição de Sequência Irregular
Uma sequência \( a_n \) diz-se irregular se não é nem convergente nem divergente. Os termos oscilam sem tender para um valor limite.
Exercício 6: Estudar a sequência \( a_n = (-1)^n \).
A sequência é limitada, mas não converge. Com efeito:
\[ \lim_{n \to \infty} (-1)^{2n} = 1, \quad \lim_{n \to \infty} (-1)^{2n+1} = -1 \]
Duas subsequências têm limites diferentes, logo a sequência é irregular.
Exercício 7: Estudar a sequência \( a_n = \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) \).
Os valores são: \( 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, \ldots \). A sequência é limitada, mas não converge. Com efeito:
\[ \lim_{n \to \infty} a_{4n-3} = 1, \quad \lim_{n \to \infty} a_{4n-2} = 0 \]
Também aqui, duas subsequências têm limites diferentes. A sequência é, portanto, irregular.
Estes exemplos mostram que ser limitada não implica convergência: uma sequência pode oscilar indefinidamente.