As sequências numéricas e os limites das sequências são conceitos fundamentais na análise matemática. Compreender o comportamento de uma sequência quando \( n \to \pm \infty \) é crucial para determinar se uma sequência \( a_n \) é convergente, divergente ou irregular.
Índice
- Sequência Convergente
- Sequência Divergente para \(+\infty\)
- Sequência Divergente para \(-\infty\)
- Sequência Irregular
Sequência Convergente
Dizemos que uma sequência \( a_n \) é convergente para \( L \) se o valor absoluto da diferença entre \( a_n \) e \( L \) pode ser tornado arbitrariamente pequeno para \( n \) suficientemente grande.
Em outras palavras, diremos que \( a_n \) tende a \( L \) quando \( n \to \infty \) se, para todo \( \varepsilon > 0 \), existe um \( n_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \) tal que, para todo \( n \ge n_{\varepsilon} \), o valor absoluto \(|a_n - L|\) é menor que \( \varepsilon \). Mais formalmente:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall \varepsilon > 0 \,\, \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \, : \, |a_n - L| < \varepsilon \quad \forall n \ge n_{\varepsilon} \]
Exemplo: Consideremos a sequência \( a_n = \displaystyle \frac{1}{n} \). Vamos demonstrar que \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).
Para demonstrar a convergência, usamos a definição de limite. Precisamos verificar que, para todo \( \varepsilon > 0 \), existe um \( n_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \) tal que, para todo \( n \ge n_{\varepsilon} \), temos:
\[ |a_n - 0| = \left| \frac{1}{n} \right| < \varepsilon \]
Dessa inequação, obtemos:
\[ \frac{1}{n} < \varepsilon \implies n > \frac{1}{\varepsilon} \]
Portanto, escolhemos \( n_{\varepsilon} = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} \right\rceil \) (parte inteira superior). Para todo \( n \ge n_{\varepsilon} \), temos:
\[ \left| \frac{1}{n} \right| < \varepsilon \]
Isso demonstra que:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \]
A demonstração segue diretamente da definição formal de limite e mostra como aplicar corretamente o conceito de convergência. Essa abordagem será, posteriormente, fundamental para demonstrar a convergência de sequências mais complexas.
Sequência Divergente para \(+\infty\)
Dizemos que uma sequência \( a_n \) é divergente para \(+\infty\) se seus termos podem ser tornados arbitrariamente grandes para \( n \) suficientemente grande.
Em outras palavras, diremos que \( a_n \) tende a \(+\infty\) quando \( n \to \infty \) se, para todo \( M > 0 \), existe um \( n_M \in \mathbb{N} \) tal que, para todo \( n \ge n_M \), temos \( a_n > M \). Mais formalmente:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = +\infty \iff \forall M > 0 \,\, \exists n_M \in \mathbb{N} \, : \, a_n > M \quad \forall n \ge n_M \]
Exemplo: Consideremos a sequência \( a_n = 2n \). Para demonstrar que ela diverge para \(+\infty\), tomamos um número arbitrário \( M > 0 \). Precisamos encontrar um índice \( n_M \) tal que, para todo \( n > n_M \), tenhamos \( a_n > M \).
Tomemos \( n_M = \left\lceil \frac{M}{2} \right\rceil \). Se \( n > n_M \), então:
\[ a_n = 2n > 2\left(\frac{M}{2}\right) = M \]
Assim, demonstramos que, para todo \( M > 0 \), existe \( n_M = \left\lceil \frac{M}{2} \right\rceil \) tal que \( a_n > M \) para todo \( n > n_M \).
Sequência Divergente para \(-\infty\)
Dizemos que uma sequência \( a_n \) é divergente para \(-\infty\) se seus termos podem ser tornados arbitrariamente pequenos (negativos) para \( n \) suficientemente grande.
Em outras palavras, diremos que \( a_n \) tende a \(-\infty\) quando \( n \to \infty \) se, para todo \( M > 0 \), existe um \( n_M \in \mathbb{N} \) tal que, para todo \( n \ge n_M \), temos \( a_n < -M \). Mais formalmente:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = -\infty \iff \forall M > 0 \,\, \exists n_M \in \mathbb{N} \, : \, a_n < -M \quad \forall n \ge n_M \]
Exemplo: Consideremos a sequência \( b_n = -3n \).
Para demonstrar que ela diverge para \(-\infty\), tomamos um número arbitrário \( M > 0 \). Precisamos encontrar um índice \( n_M \) tal que, para todo \( n > n_M \), tenhamos \( b_n < -M \).
Agora, tomemos \( n_M = \left\lceil \frac{M}{3} \right\rceil \). Se \( n > n_M \), então:
\[ b_n = -3n < -3\left(\frac{M}{3}\right) = -M \]
Assim, demonstramos que, para todo \( M > 0 \), existe \( n_M = \left\lceil \frac{M}{3} \right\rceil \) tal que \( b_n < -M \) para todo \( n > n_M \).
Sequência Irregular
Dizemos que uma sequência \( a_n \) é irregular se ela não é nem convergente nem divergente para \(+\infty\) ou \(-\infty\).
Exemplo: Consideremos a sequência:
\[ a_n = (-1)^n, \quad n \in \mathbb{N} \]
Esta sequência não é nem convergente nem divergente. Observamos que ela é limitada, pois:
\[ -1 \le (-1)^n \le 1, \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Agora, suponhamos, por absurdo, que ela converja para um limite \( L \):
\[ \lim_{n \to \infty} (-1)^n = L \]
Então, teríamos também:
\[ \lim_{n \to \infty} (-1)^{2n} = L \]
Mas, como \( (-1)^{2n} = 1 \) para todo \( n \), conclui-se que \( L = 1 \).
Pela definição de limite, deveria existir um \( n_{\varepsilon} \) tal que:
\[ \forall \varepsilon > 0 \,\, \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}: |(-1)^n - 1| < \varepsilon, \quad \forall n > n_{\varepsilon} \]
Entretanto, para \( n \) ímpar maior que \( n_{\varepsilon} \):
\[ |(-1)^n - 1| = |-1 - 1| = 2 \]
Isso é impossível para \( \varepsilon \) arbitrariamente pequeno, logo a sequência não pode convergir. Tampouco é divergente, pois é limitada.