O teorema de Cauchy é um resultado fundamental que estende o teorema de Lagrange introduzindo uma relação entre duas funções.
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Teorema de Cauchy
Sejam \(f, g : [a,b] \to \mathbb{R}\) funções contínuas em \([a,b]\) e deriváveis em \((a,b)\), com \(g' \neq 0\) em \((a,b)\). Então existe \(\xi \in (a,b)\) tal que:
\[\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\]
Observa-se que \(g(b) - g(a) \neq 0\) em virtude da hipótese \(g' \neq 0\).
Demonstração. Consideremos a função auxiliar:
\[h(x) = f(x)[g(b) - g(a)] - g(x)[f(b) - f(a)]\]
Esta função satisfaz:
- \(h\) é contínua em \([a,b]\) (enquanto combinação de funções contínuas)
- \(h\) é derivável em \((a,b)\) (enquanto tanto \(f\) quanto \(g\) são deriváveis)
Avaliamos \(h\) nos extremos:
Para \(x = a\):
\begin{align} h(a) &= f(a)[g(b) - g(a)] - g(a)[f(b) - f(a)] \\ &= f(a)g(b) - f(a)g(a) - g(a)f(b) + g(a)f(a) \\ &= f(a)g(b) - g(a)f(b)\end{align}
Para \(x = b\):
\begin{align} h(b) &= f(b)[g(b) - g(a)] - g(b)[f(b) - f(a)] \\ &= f(b)g(b) - f(b)g(a) - g(b)f(b) + g(b)f(a) \\ &= f(a)g(b) - g(a)f(b)\end{align}
Portanto, \(h(a) = h(b)\). Pelo teorema de Rolle, existe \(\xi \in (a,b)\) tal que \(h'(\xi) = 0\).
Calculamos \(h'(x)\):
\[h'(x) = f'(x)[g(b) - g(a)] - g'(x)[f(b) - f(a)]\]
Para \(x = \xi\), temos que \(h'(\xi) = 0\) implica:
\[f'(\xi)[g(b) - g(a)] - g'(\xi)[f(b) - f(a)] = 0\]
\[f'(\xi)[g(b) - g(a)] = g'(\xi)[f(b) - f(a)]\]
Uma vez que \(g' \neq 0\) em \((a,b)\), podemos dividir ambos os membros por \(g'(\xi)\):
\[\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\]
Isto completa a demonstração do teorema de Cauchy.