A desigualdade de Bernoulli, enunciada pelo matemático suíço Jacob Bernoulli em 1689, é de importância fundamental porque permite estabelecer estimativas por excesso e por defeito para as funções exponenciais e polinomiais.
Teorema. (Desigualdade de Bernoulli). Seja \(x \in \mathbb{R}\) tal que \(x \geq -1\). Então, para todo \(n \in \mathbb{N}\), vale a seguinte desigualdade:
\[ (1 + x)^n \geq 1 + nx \]
Demonstração. Procedemos por indução sobre o natural \(n\).
Base da indução: Para \(n = 0\), temos:
\[ (1 + x)^0 = 1 = 1 + 0 \cdot x \]
portanto, a tese está verificada.
Hipótese de indução: Suponhamos que a desigualdade seja verdadeira para um certo \(k \in \mathbb{N}\), ou seja:
\[ (1 + x)^k \geq 1 + kx \]
Passo indutivo: Demonstremos que a desigualdade vale para \(k + 1\). Multiplicamos ambos os membros da hipótese de indução por \((1 + x)\). Esta operação preserva o sentido da desigualdade, pois \(x \geq -1\) implica \((1 + x) \geq 0\). Obtemos:
\[ \begin{align} (1 + x)^{k+1} & \geq (1 + kx)(1 + x) \\ & = 1 + x + kx + kx^2 \\ & = 1 + (k + 1)x + kx^2 \\ & \geq 1 + (k + 1)x \end{align} \]
A última desigualdade é justificada pelo facto de que \(kx^2 \geq 0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\) e \(k \in \mathbb{N}\). Pelo princípio de indução, a desigualdade está demonstrada para todo \(n \in \mathbb{N}\).
Observação. A condição \(x \geq -1\) é necessária para garantir que a multiplicação por \((1 + x)\) no passo indutivo preserve o sentido da desigualdade.
Exemplo. A desigualdade de Bernoulli pode ser utilizada para estimar a função exponencial \(e^x\). Sabendo que
\[ e^x = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \]
podemos aplicar a desigualdade e obter uma estimativa inferior.
A desigualdade de Bernoulli diz-nos que:
\[ \begin{align*} e^x & = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \\ & \geq \lim_{n \to \infty} \left(1 + n \cdot\frac{x}{n}\right) = 1 + x. \end{align*} \]
Portanto, \(e^x \geq 1 + x\). Este resultado fornece uma estimativa simples e imediata para a função exponencial, sem necessidade de efetuar cálculos complicados.