O seguinte limite é de fundamental importância na análise matemática. Forneceremos duas demonstrações: uma baseada no Teorema do Confronto (Teorema dos Carabineiros), que utiliza uma comparação geométrica, e outra por meio da Série de Taylor, que emprega o desenvolvimento em série da função seno. O limite que pretendemos demonstrar é o seguinte:
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\]
Demonstração por meio do Teorema dos Carabineiros
Para demonstrar o limite, utilizamos o Teorema do Confronto (Teorema dos Carabineiros). Observe a figura:
Consideremos o setor circular de raio \(1\) e ângulo \(x\) em radianos. Como se observa na figura, podemos comparar três áreas:
- O triângulo \( \triangle OBD \), de base \( \cos x \) e altura \( \sin x \).
- O setor circular \( OBD \), com área proporcional a \( x \).
O setor circular \( OBD \), com área proporcional a \( x \), pois a área de um setor circular é calculada como \( \displaystyle \frac{1}{2} r^2 x \) e, no caso de raio unitário, torna-se \( \displaystyle \frac{x}{2} \).
- O triângulo \( \triangle OBC \), de base \(1\) e altura \( \tan x \).
Estas três regiões obedecem à relação:
\[ \text{Área}(\triangle OBD) < \text{Área}(OBC) < \text{Área}(\triangle OBC) \]
Explicitando as áreas, obtemos:
\[ \frac{1}{2} \cos x \sin x < \frac{1}{2} x < \frac{1}{2} \tan x \]
Multiplicando ambos os membros por \( \frac{2}{\sin x} \), obtemos:
\[ \cos x < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \]
Uma vez que sabemos que:
\[ \lim_{x\to 0} \cos x = 1, \quad \lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos x} = 1 \]
pelo Teorema do Confronto (Teorema dos Carabineiros) podemos concluir que:
\[ \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]
Demonstração por meio da Série de Taylor
Outro método rigoroso é utilizar a série de Taylor de \( \sin(x) \) em \( x = 0 \):
\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \mathcal{O}(x^5). \]
Dividindo tudo por \( x \):
\[ \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \mathcal{O}(x^4). \]
Ao deixar \( x \to 0 \), os termos de ordem superior tendem a zero, e obtemos:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \]
Demonstramos que o limite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \]
utilizando tanto o Teorema do Confronto quanto a Série de Taylor. Este resultado é fundamental na análise e possui inúmeras aplicações.
Exemplo
Observamos que no argumento do seno aparece \( ax \) em vez de \( x \). Para adaptá-lo ao limite notável, multiplicamos e dividimos por \( a \):
\[ \frac{\sin(ax)}{x} = a \cdot \frac{\sin(ax)}{ax}. \]
Agora, o termo \( \displaystyle \frac{\sin(ax)}{ax} \) possui a mesma estrutura do limite notável.
Aplicamos o Limite Notável
Uma vez que sabemos que:
\[ \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1, \]
podemos substituir \( y = ax \), que tende a \( 0 \) quando \( x \to 0 \), obtendo:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1. \]
Multiplicando por \( a \), obtemos o resultado final:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a \]
Exemplo Numérico
Consideremos um caso específico: se \( a = 3 \), então o limite torna-se:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}. \]
Aplicando a fórmula encontrada, obtemos:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \]