Nesta seção, demonstraremos o seguinte limite notável:
\[ \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1 \]
utilizando dois métodos distintos: o primeiro baseia-se na interpretação do limite como definição de derivada, enquanto o segundo utiliza o desenvolvimento em série de Taylor da função exponencial.
Interpretação como Derivada
Consideremos a função \( f(x)=e^x \). O quociente incremental \[ \frac{e^x-1}{x}=\frac{e^x-e^0}{x-0} \] representa o quociente incremental que, quando \( x \) tende a 0, define a derivada de \( f(x) \) em 0: \[ \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=f'(0). \]
Como a derivada da função exponencial é ela própria \( e^x \), temos: \[ f'(0)=e^0=1. \]
Portanto, obtemos: \[ \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1. \]
Desenvolvimento em Série de Taylor
Alternativamente, consideremos o desenvolvimento em série de Taylor da função \( e^x \) em torno de \( x=0 \):
\[ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots. \]
Subtraindo \( 1 \) de ambos os lados, obtemos:
\[ e^x-1=x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots. \]
Dividindo por \( x \) (com \( x\neq 0 \)): \[ \frac{e^x-1}{x}=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\cdots. \]
Tomando o limite quando \( x \to 0 \), todos os termos que contêm \( x \) tendem a zero, resultando em: \[ \lim_{x \to 0}\left(1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\cdots\right)=1. \]
Ambos os métodos, o baseado na definição de derivada e o baseado no desenvolvimento em série de Taylor, levam ao mesmo resultado: \[ \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1. \]
Exercícios
Exercício 1. Calcule o limite \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-1}{\sin(2x)}. \]
Solução. Podemos reescrever a expressão como:
\[ \frac{e^{3x}-1}{\sin(2x)} = \frac{e^{3x}-1}{3x} \cdot \frac{3x}{\sin(2x)} \]
Utilizando o limite notável da exponencial:
\[ \lim_{x \to 0}\frac{e^{3x}-1}{3x} = 1 \]
e sabendo que:
\[ \lim_{x \to 0}\frac{\sin(2x)}{2x} = 1 \quad\Rightarrow\quad \lim_{x \to 0}\frac{2x}{\sin(2x)} = 1 \]
obtemos:
\[ \lim_{x \to 0}\frac{3x}{\sin(2x)} = \lim_{x \to 0}\frac{3x}{2x} \cdot \frac{2x}{\sin(2x)} = \frac{3}{2}\cdot 1 = \frac{3}{2} \]
Portanto, \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-1}{\sin(2x)} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \]
Exercício 2. Calcule o limite \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{e^{2x}-1} \]
Solução. Podemos reescrever a expressão como:
\[ \frac{\tan(3x)}{e^{2x}-1} = \frac{\tan(3x)}{3x} \cdot \frac{3x}{2x} \cdot \frac{2x}{e^{2x}-1} \]
Utilizamos os seguintes limites notáveis:
\[ \lim_{x \to 0}\frac{\tan(3x)}{3x} = 1 \]
e
\[ \lim_{x \to 0}\frac{e^{2x}-1}{2x} = 1 \quad\Rightarrow\quad \lim_{x \to 0}\frac{2x}{e^{2x}-1} = 1 \]
Além disso, o termo \(\frac{3x}{2x}\) simplifica-se para \(\frac{3}{2}\). Portanto:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{e^{2x}-1} = 1 \cdot \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} \]