O seguinte limite mostra que o crescimento da função exponencial \( e^x \) é muito mais rápido do que qualquer polinômio \( x^n \). Este resultado é fundamental em análise matemática e é usado na teoria das ordens de grandeza e na complexidade computacional.
Vamos demonstrar que:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \infty \]
Critério de L'Hôpital
Consideremos a função:
\[ f(x) = \frac{e^x}{x^n}. \]
Aplicamos o critério de L'Hôpital, derivando numerador e denominador \( n \) vezes:
- O numerador \( e^x \) permanece inalterado.
- O denominador, após \( n \) derivações, torna-se \( n! \).
Portanto, temos:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{n!} = \infty. \]
Comparação das ordens de grandeza
Outra forma de demonstrar o limite é notar que a função \( e^x \) pode ser escrita como sua série de Taylor:
\[ e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}. \]
Consideremos apenas o termo com \( k = n+1 \):
\[ e^x > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}. \]
Portanto:
\[ \frac{e^x}{x^n} > \frac{x^{n+1}}{(n+1)! x^n} = \frac{x}{(n+1)!}. \]
Como \( \displaystyle \frac{x}{(n+1)!} \to \infty \) quando \( x \to \infty \), segue-se que \( \displaystyle \frac{e^x}{x^n} \to \infty \).
Método assintótico
Também podemos utilizar uma abordagem assintótica. Observamos que a razão entre as duas funções é:
\[ \frac{e^x}{x^n} = e^{x - n \ln x}. \]
Para \( x \) suficientemente grande, o termo \( x - n \ln x \) cresce indefinidamente, portanto \( e^{x - n \ln x} \to \infty \), e o limite está demonstrado.