As operações com limites são de importância fundamental porque nos permitem calcular o limite de uma soma, de um produto ou de um quociente deduzindo-o diretamente dos limites das sucessões individuais. Essas regras simplificam notavelmente os cálculos, permitindo analisar o comportamento de funções complexas sem ter que recorrer a métodos mais elaborados.
Índice
Limite da Soma
Sejam \(\{a_n\}\) e \(\{b_n\}\) duas sucessões. Se:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = A \quad \text{e} \quad \lim_{n \to \infty} b_n = B, \]
então:
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B. \]
Demonstração. Para demonstrar este teorema, utilizamos a definição de limite para as sucessões. Segundo a definição, \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\) significa que para todo \(\epsilon > 0\), existe um número natural \(N_1\) tal que:
\[ |a_n - A| < \epsilon \quad \text{para todo} \ n \geq N_1. \]
Analogamente, \(\lim_{n \to \infty} b_n = B\) significa que para todo \(\epsilon > 0\), existe um número natural \(N_2\) tal que:
\[ |b_n - B| < \epsilon \quad \text{para todo} \ n \geq N_2. \]
Agora, devemos demonstrar que:
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B. \]
Para demonstrar que \(\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B\), devemos mostrar que para todo \(\epsilon > 0\), existe um número natural \(N\) tal que:
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| < \epsilon \quad \text{para todo} \ n \geq N. \]
Tem-se:
\begin{align} |(a_n + b_n) - (A + B)| &= |(a_n + b_n) - (A + B)| \\ &= |(a_n - A) + (b_n - B)| \end{align}
A desigualdade triangular assegura-nos que:
\[ |(a_n - A) + (b_n - B)| \leq |a_n - A| + |b_n - B| \]
Agora, para todo \(\epsilon > 0\), dado que \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\), existe um número natural \(N_1\) tal que:
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{para todo} \ n \geq N_1. \]
Analogamente, dado que \(\lim_{n \to \infty} b_n = B\), existe um número natural \(N_2\) tal que:
\[ |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{para todo} \ n \geq N_2. \]
Se escolhermos \( N = \max(N_1, N_2) \), temos que para todo \(n \geq N\) valem as desigualdades:
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{e} \quad |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2} \]
Agora, para todo \(n \geq N\):
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| \leq |a_n - A| + |b_n - B| \]
Visto que:
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{e} \quad |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2} \]
temos:
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| \leq |a_n - A| + |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \]
Portanto, para todo \(\epsilon > 0\), existe um \(N\) tal que para todo \(n \geq N\), tem-se:
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| < \epsilon \]
O que demonstra que:
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B \]
Limite do Produto
Para demonstrar este teorema, devemos mostrar que para todo \(\epsilon > 0\), existe um número natural \(N\) tal que:
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| < \epsilon \quad \text{para todo} \ n \geq N. \]
Dado que \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\), para todo \(\epsilon > 0\), existe um número natural \(N_1\) tal que:
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \quad \text{para todo} \ n \geq N_1. \]
Dado que \(\lim_{n \to \infty} b_n = B\), para todo \(\epsilon > 0\), existe um número natural \(N_2\) tal que:
\[ |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)} \quad \text{para todo} \ n \geq N_2. \]
Escolhemos \(N\) como o máximo entre \(N_1\) e \(N_2\):
\[ N = \max(N_1, N_2). \]
Para todo \(n \geq N\), temos tanto \(n \geq N_1\) quanto \(n \geq N_2\). Portanto:
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \quad \text{e} \quad |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)}. \]
Consideremos a diferença:
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)|. \]
Podemos reescrever esta diferença como:
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| = |a_n \cdot b_n - A \cdot B|. \]
Adicionamos e subtraímos \(A \cdot b_n\):
\[ |a_n \cdot b_n - A \cdot B| = |(a_n \cdot b_n - A \cdot b_n) + (A \cdot b_n - A \cdot B)|. \]
Utilizamos a desigualdade triangular:
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| \leq |a_n \cdot b_n - A \cdot b_n| + |A \cdot b_n - A \cdot B|. \]
Decompomos os termos:
\[ |a_n \cdot b_n - A \cdot b_n| = |(a_n - A) \cdot b_n|. \]
Visto que:
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \]
além disso:
\[ |b_n| \leq |B| + 1 \text{ para } n \geq N, \]
temos:
\[ |(a_n - A) \cdot b_n| \leq |a_n - A| \cdot |b_n| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \cdot (|B| + 1) = \frac{\epsilon}{2}. \]
Similarmente:
\[ |A \cdot b_n - A \cdot B| = |A \cdot (b_n - B)|. \]
Visto que:
\[ |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)}, \]
além disso:
\[ |A| \leq |A| + 1 \text{ para } n \geq N, \]
temos:
\[ |A \cdot (b_n - B)| \leq |A| \cdot |b_n - B| < (|A| + 1) \cdot \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)} = \frac{\epsilon}{2}. \]
Somamos as desigualdades:
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| \leq |(a_n - A) \cdot b_n| + |A \cdot (b_n - B)| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon. \]
Portanto, para todo \(\epsilon > 0\), existe um \(N\) tal que para todo \(n \geq N\), tem-se:
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| < \epsilon. \]
O que demonstra que:
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B. \]
Limite do Quociente
Suponhamos que temos duas sucessões \(a_n\) e \(b_n\) tais que:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = A \quad \text{e} \quad \lim_{n \to \infty} b_n = B, \]
com \(B \neq 0\). Queremos demonstrar que:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}. \]
Isto significa que, para todo \(\epsilon > 0\), existe um número natural \(N\) tal que, para todo \(n \geq N\), tem-se:
\[ \left| \frac{a_n}{b_n} - \frac{A}{B} \right| < \epsilon. \]
Reescrevemos a diferença como:
\[ \left| \frac{a_n}{b_n} - \frac{A}{B} \right| = \left| \frac{a_n \cdot B - A \cdot b_n}{b_n \cdot B} \right|. \]
Para estimar esta expressão, podemos utilizar a desigualdade triangular e reescrever o numerador:
\[ |a_n \cdot B - A \cdot b_n| = |(a_n - A) \cdot B + A \cdot (B - b_n)|. \]
Aplicando a desigualdade triangular, obtemos:
\[ |(a_n - A) \cdot B + A \cdot (B - b_n)| \leq |(a_n - A) \cdot B| + |A \cdot (B - b_n)|. \]
Agora devemos estimar separadamente os dois termos \( |(a_n - A) \cdot B| \) e \( |A \cdot (B - b_n)| \). Para isso, podemos escolher duas quantidades \( \delta_1 \) e \( \delta_2 \), tais que:
\[ \delta_1 + \delta_2 = \epsilon. \]
Impomos as seguintes condições:
\[ |a_n - A| < \delta_1 \quad \text{e} \quad |b_n - B| < \delta_2. \]
Utilizando estas desigualdades, obtemos para o primeiro termo:
\[ |(a_n - A) \cdot B| \leq |a_n - A| \cdot |B| < \delta_1 \cdot |B|. \]
Para o segundo termo:
\[ |A \cdot (B - b_n)| \leq |A| \cdot |B - b_n| < |A| \cdot \delta_2. \]
Somamos agora os dois termos:
\[ |a_n \cdot B - A \cdot b_n| \leq \delta_1 \cdot |B| + \delta_2 \cdot |A|. \]
Finalmente, dividimos por \( |b_n \cdot B| \). Visto que para \(n\) suficientemente grande \( |b_n| \geq \frac{|B|}{2} \), podemos escrever:
\[ \frac{|a_n \cdot B - A \cdot b_n|}{|b_n \cdot B|} \leq \frac{\delta_1 \cdot |B| + \delta_2 \cdot |A|}{\frac{|B|^2}{2}}. \]
Simplificando a expressão, obtemos:
\[ \frac{2(\delta_1 \cdot |B| + \delta_2 \cdot |A|)}{|B|^2}. \]
Para garantir que toda a expressão seja menor que \( \epsilon \), podemos escolher \( \delta_1 \) e \( \delta_2 \) de modo que satisfaçam uma relação proporcional. Por exemplo, podemos escolher:
\[ \delta_1 = \frac{\epsilon}{2} \quad \text{e} \quad \delta_2 = \frac{\epsilon}{2}. \]
Desta maneira, garantimos que:
\[ \left| \frac{a_n}{b_n} - \frac{A}{B} \right| < \epsilon, \]
demonstrando assim que:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}. \]