Já calculamos algumas derivadas de funções elementares utilizando o limite do quociente incremental da função \(f(x)\). Agora veremos como calcular - de forma mais geral - a derivada da soma \((f + g)(x_0)\), a derivada do produto \((f \cdot g)(x_0)\), da função inversa \(f^{-1}(x_0)\) e da função composta \((f \circ g)(x_0)\).
Índice
Derivada da Soma
Sejam \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) e \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) duas funções e seja \(x_0 \in X \cap Y\). Se \( f \) e \( g \) são deriváveis no ponto \(x_0\), então \( (f + g)(x) \) é derivável em \(x_0\) e sua derivada é dada por: \[ (f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0) \]
Prova: Aplicamos a definição de derivada à função soma:
\begin{align} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) + g(x) - (f(x_0) + g(x_0))}{x - x_0} &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) + g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} + \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \end{align}
O último passo é justificado pelo fato de que o limite da soma é igual à soma dos limites. Logo, deduzimos que, como as funções \(f\) e \(g\) são deriváveis em \(x_0\), a soma é derivável em \(x_0\):
\[(f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)\]
Derivada do Produto
Sejam \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) e \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) duas funções e seja \(x_0 \in X \cap Y\). Se \( f \) e \( g \) são deriváveis no ponto \( x_0 \), então o produto \( (f \cdot g)(x) \) é derivável em \(x_0\) e sua derivada é dada por: \[ (f \cdot g)'(x_0) = f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0) \]
Prova: Aplicamos a definição de derivada à função produto:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0)}{x - x_0} \]
Podemos manipular algebricamente a expressão - somando e subtraindo \( f(x_0)g(x) \) no numerador para evidenciar a diferença de dois termos:
\[ f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) = f(x)g(x) - f(x_0)g(x) + f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x_0) \]
Agora, agrupamos os termos de forma a poder factorar os termos comuns:
\[ (f(x) - f(x_0))g(x) + f(x_0)(g(x) - g(x_0)) \]
Agora podemos substituir essa expressão no limite:
\[ \lim_{x \to x_0} \left( \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} + \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} \right) \]
Dividimos esse limite em duas partes:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} + \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} \]
Consideramos o primeiro limite:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \right) g(x_0) = f'(x_0)g(x_0) \]
Dado que \( \lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0) \), podemos tirar \( g(x_0) \) do limite.
Agora consideramos o segundo limite:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} = f(x_0) \lim_{x \to x_0} \left( \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \right) = f(x_0)g'(x_0) \]
Combinando os dois resultados, obtemos:
\[ (f \cdot g)(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) \]
Essa é a regra do produto para as derivadas, que afirma que a derivada do produto de duas funções é dada pela soma do produto da derivada da primeira função pela segunda função, mais o produto da primeira função pela derivada da segunda função.
Derivada da Função Composta
Sejam \(f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) e \(g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) duas funções, onde \(X\) contém um entorno de \(x_0\) e \(Y\) contém um entorno de \(g(x_0)\), com \(g(X) \subset Y\). Se \(g\) é derivável em \(x_0\) e \(f\) é derivável em \(g(x_0)\), então a função composta \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) é derivável em \(x_0\) e sua derivada é dada por:
\[ (f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0) \]
Prova: Partimos da definição de derivada como limite do quociente incremental:
\[ (f \circ g)'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0} \]
Multiplicamos e dividimos por \( (g(x) - g(x_0)) \):
\[ (f \circ g)'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \]
A primeira parte do produto é o limite da derivada de \(f\) em \(g(x_0)\), e a segunda parte é a derivada de \(g\) em \(x_0\). Logo, temos:
\[ (f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0) \]
Derivada da Função Inversa
Se \( f \) é uma função bijetora (isto é, injetora e sobrejetora) e derivável em um ponto \( x_0 \), e se \( f'(x_0) \neq 0 \), então a função inversa \( f^{-1} \) é derivável em \( y_0 = f(x_0) \) e sua derivada é dada por:
\[ (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \]
Prova: Consideramos a relação \( f^{-1}(f(x_0)) = x_0 \). Aplicando derivadas em ambos os lados dessa equação:
\[ \frac{d}{dy} f^{-1}(f(x)) = \frac{d}{dy} x_0 \]
Por meio da regra da cadeia, temos:
\[ \frac{d}{dx} f^{-1}(f(x)) = \frac{1}{f'(x_0)} \]