Já calculámos algumas derivadas de funções elementares mediante o limite do quociente incremental da função \(f(x)\). Agora veremos como calcular - de modo mais genérico - a derivada da soma \((f + g )(x_0)\), a derivada do produto \((f \cdot g )(x_0)\), da função inversa \(f ^{ - 1 }(x_0)\) e da função composta \((f \circ g)(x_0)\).
Índice
Derivada da Soma
Sejam \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) e \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) duas funções e seja \(x_0 \in X\cap Y\). Se \( f \) e \( g \) são deriváveis no ponto \(x_0\), então \( (f + g )(x) \) é derivável em \(x_0\) e a sua derivada é dada por\[ (f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0) \]
Demonstração. Aplicamos a definição de derivada à função soma:
\begin{align} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) + g(x) - (f(x_0) + g(x_0))}{x - x_0} &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) + g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim_{x\to x_0}\frac{f(x) -f(x_0)}{x - x_0} + \lim_{x\to x_0}\frac{g(x) -g(x_0)}{x - x_0} \end{align} O último passo é justificado pelo facto de que o limite da soma é igual à soma dos limites. Deduzimos portanto que, visto que as funções \(f\) e \(g\) são deriváveis em \(x_0\), a soma é derivável em \(x_0\):
\[ (f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0) \]
Derivada do Produto
Sejam \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) e \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) duas funções e seja \(x_0 \in X \cap Y\). Se \( f \) e \( g \) são deriváveis no ponto \( x_0 \), então o produto \( (f \cdot g)(x) \) é derivável em \(x_0\) e a sua derivada é dada por: \[ (f \cdot g)'(x_0) = f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0) \]
Demonstração. Aplicamos a definição de derivada à função produto:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) g(x) - f(x_0) g(x_0)}{x - x_0} \]
Podemos manipular algebricamente a expressão - adicionando e subtraindo \( f(x_0)g(x) \) - ao numerador para evidenciar a diferença de dois termos:
\[ f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) = f(x)g(x) - f(x_0)g(x) + f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x_0) \]
Agrupamos os termos de modo a podermos extrair factores comuns:
\[ (f(x) - f(x_0))g(x) + f(x_0)(g(x) - g(x_0)) \]
Agora podemos substituir esta expressão no limite:
\[ \lim_{x \to x_0} \left( \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} + \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} \right) \]
Dividimos este limite em duas partes:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} + \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} \]
Consideremos o primeiro limite:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \right) g(x_0) = f'(x_0)g(x_0) \]
Dado que \( \lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0) \), podemos extrair \( g(x_0) \) do limite.
Agora consideremos o segundo limite:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} = f(x_0) \lim_{x \to x_0} \left( \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \right) = f(x_0)g'(x_0) \]
Combinando ambos os resultados, obtemos:
\[ ( f \cdot g )'(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) \]
Esta é a regra do produto para as derivadas, que afirma que a derivada do produto de duas funções é dada pela soma do produto da derivada da primeira função pela segunda função, mais o produto da primeira função pela derivada da segunda função.
Derivada da Função Composta
Sejam \(f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) e \(g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) duas funções, onde \(X\) contém uma vizinhança de \(x_0\) e \(Y\) contém uma vizinhança de \(g(x_0)\), com \(g(X) \subset Y\). Se \(g\) é derivável em \(x_0\) e \(f\) é derivável em \(g(x_0)\), então a função composta \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) é derivável em \(x_0\) e a sua derivada é dada por:
\[(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)\]
Demonstração. Partimos da definição de derivada como limite do quociente incremental
\[ (f \circ g)'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0}\]
Multiplicamos e dividimos por \((g(x) - g(x_0))\):
\[(f \circ g)'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}\]
O limite do produto é igual ao produto dos limites, portanto podemos separar o limite em duas partes:
\[(f \circ g)'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}\]
Agora, reconhecemos que o primeiro limite é a definição de \(f'(g(x_0))\) e o segundo limite é a definição de \(g'(x_0)\). Portanto obtemos:
\[(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)\]
Derivada da Função Inversa
Seja \( f : X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R} \) uma função bijetiva e contínua num intervalo aberto \(X\), com inversa \( f^{-1} : Y \to X \). Seja \( x_0 \in X \) e seja \( y_0 = f(x_0) \). Se \(f\) é derivável em \(x_0\) e \(f'(x_0) \neq 0\), então \(f^{-1}\) é derivável em \(y_0\) e vale: \[ (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \]
Demonstração. Pela regra de derivação para as funções compostas: \( ( f ^ { - 1 } \circ f )'( x_0 ) = (f^{-1})' (y_0)\cdot f'(x_0) \). Mas \( ( f ^ { - 1 } \circ f )'( x_0 ) = 1 \), enquanto função idêntica em \( X \) e portanto:
\[ (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \]
Observação. Se \( f \) é derivável em \(x_0\) com \(f'(x_0)=0\), então \(f^{-1}\) não pode ser derivável em \( y_0=f(x_0) \) visto que \( 1/ f'(x_0)\) não está definida.
Exemplo. Seja \( g : [0, +\infty) \longrightarrow [0, +\infty) \) definida por \( g(y)=y^{1/3} \). A função \(f^{-1}\) não pode ser derivável em \(y_0=0\) porque a inversa \(f(x)=x^3\) é derivável em \(x_0\) com \(f'(0) = 0\).