Em análise matemática, uma sucessão é uma lei que associa a cada número natural \( n \in \mathbb{N} \) um elemento \( a_n \) pertencente a um conjunto \( X \). Por outras palavras, uma sucessão é uma função definida sobre o conjunto dos números naturais com valores em \( X \).
Índice
Definição
Formalmente, uma sucessão é definida como uma função:
\begin{align} a \,\, : \,\, & \mathbb{N} \rightarrow X \\ & n \rightarrow a(n) \end{align}
Nesta definição, \( \mathbb{N} \) indica o conjunto dos números naturais, ou seja \( \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, \dots \} \). O conjunto \( X \) representa o conjunto de chegada, que pode ser o conjunto dos números reais \( \mathbb{R} \), dos números complexos \( \mathbb{C} \), dos números inteiros \( \mathbb{Z} \) ou outro conjunto numérico ou não numérico.
A função \( a \) associa a cada número natural \( n \) um elemento \( a(n) \) pertencente ao conjunto \( X \). O valor \( a(n) \) chama-se termo de ordem \( n \) da sucessão e denota-se habitualmente por \( a_n \), ou seja \( a_n = a(n) \). O termo \( a_n \) indica portanto o valor assumido pela sucessão em correspondência do índice \( n \).
Uma sucessão pode ser representada explicitamente mediante a lista ordenada dos seus termos:
\[ a_0, a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots \]
A notação mais utilizada para indicar uma sucessão é \( \{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) ou, alternativamente, \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \). Ambas as escritas exprimem o facto de que a sucessão é composta pelos termos \( a_n \) para cada \( n \in \mathbb{N} \).
No caso em que o conjunto \( X \) seja constituído pelos números reais \( \mathbb{R} \) ou complexos \( \mathbb{C} \), a sucessão denomina-se numérica. Mais precisamente, se \( X = \mathbb{R} \), a sucessão diz-se sucessão real, enquanto que se \( X = \mathbb{C} \), fala-se de sucessão complexa.
Por exemplo, a sucessão definida por \( a_n = \displaystyle \frac{1}{n} \) com \( n \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \} \) é uma sucessão real, visto que cada termo pertence ao conjunto dos números reais.
As sucessões podem também ter valores em conjuntos não numéricos. É possível definir sucessões de vetores, matrizes ou elementos de um alfabeto, conforme o contexto de estudo.
Do ponto de vista gráfico, as sucessões numéricas podem ser representadas associando a cada índice \( n \) o valor correspondente do termo \( a_n \). Esta representação permite visualizar o comportamento da sucessão.
Por exemplo, a sucessão definida por \( a_n = n^2 \) pode ser representada graficamente como uma série de pontos, cujos valores aumentam seguindo um crescimento quadrático:
\[ 0, 1, 4, 9, 16, 25, \dots \]
Exemplos
Sucessões Recursivas
Uma sucessão recursiva define-se especificando os valores iniciais e uma regra que permite calcular cada termo seguinte a partir do precedente. Por exemplo, o factorial de um número natural \( n \) define-se como:
\[ 0! = 1 \quad, \quad n! = n\cdot (n-1)! \]
De modo análogo, também a potência de 2 pode definir-se recursivamente:
\[ 2^0 = 1 \quad , \quad 2^n = 2 \cdot 2^{n-1} \]
Mais geralmente, para cada \( 0 \neq x \in \mathbb{R} \), temos:
\[ x^0 = 1 \quad , \quad x^n = x\cdot x^{n-1} \]
Outro exemplo comum é a sucessão de Fibonacci, definida como:
\[ F_0 = 0, \quad F_1 = 1 \quad , \quad F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \]
Sucessões Finitas
Define-se sucessão finita uma sucessão constituída por um número finito de termos, ou seja se existe um \( N \in \mathbb{N} \) tal que \( a_n \) está definido apenas para \( n \leq N \). Inversamente, fala-se de sucessão infinita se \( a_n \) está definido para cada \( n \in \mathbb{N} \).
As sucessões infinitas são as maioritariamente utilizadas em análise matemática e representam uma ferramenta essencial para o estudo das séries, das funções e dos limites.
Sucessões Monótonas
Uma sucessão diz-se monótona se os seus termos mantêm um comportamento constante, ou seja se são não decrescentes ou não crescentes. A monotonia de uma sucessão pode manifestar-se em duas formas distintas.
Sucessão Crescente
Define-se sucessão crescente uma sucessão na qual cada termo é menor ou igual ao termo seguinte. Formalmente, a sucessão \( \{ a_n \} \) é crescente se:
\[ a_n \leq a_{n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Se a desigualdade é estrita, ou seja se \( a_n < a_{n+1} \) para cada \( n \), a sucessão diz-se estritamente crescente.
Exemplo: A sucessão \( a_n = n \) é estritamente crescente, visto que:
\[ 0 < 1 < 2 < 3 < \dots \]
Sucessão Decrescente
Uma sucessão diz-se decrescente se cada termo é maior ou igual ao seguinte. Formalmente:
\[ a_n \geq a_{n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Se a desigualdade é estrita, ou seja se \( a_n > a_{n+1} \) para cada \( n \), a sucessão diz-se estritamente decrescente.
Um exemplo de sucessão decrescente é \( a_n = \displaystyle \frac{1}{n} \), que assume os valores:
\[ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots \]
Sucessões Limitadas
Uma sucessão \( \{ a_n \} \) diz-se limitada se existe um número real \( M \) tal que:
\[ |a_n| \leq M \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Neste caso, \( M \) chama-se majorante da sucessão. Se em vez disso vale:
\[ m \leq a_n \leq M \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
então a sucessão diz-se limitada superior e inferiormente, onde \( M \) é um majorante e \( m \) um minorante.
Por exemplo, a sucessão \( a_n = (-1)^n \) está limitada, visto que os seus termos oscilam entre \( -1 \) e \( 1 \).
Sucessões Ilimitadas
Uma sucessão diz-se ilimitada se os seus termos crescem ou decrescem indefinidamente. Formalmente, \( \{ a_n \} \) é ilimitada se:
\[ \forall M \in \mathbb{R}, \; \exists n \in \mathbb{N} \quad : \quad |a_n| > M \]
Um exemplo é a sucessão \( a_n = n \), que não está limitada superiormente.
Sucessões Oscilantes
Define-se oscilante uma sucessão cujos termos não tendem a estabilizar-se nem a crescer ou decrescer de modo monótono, mas variam continuamente.
Por exemplo, a sucessão \( a_n = (-1)^n \) oscila entre \( 1 \) e \( -1 \) sem convergir para um valor definido.
Esta sucessão é simultaneamente oscilante e limitada.
Sucessões Constantes
Uma sucessão constante é um caso particular de sucessão monótona na qual todos os termos são iguais. Formalmente, uma sucessão é constante se:
\[ a_n = c \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Um exemplo simples é a sucessão \( a_n = 5 \), que produz a lista:
\[ 5, 5, 5, 5, \dots \]
Esta sucessão é monótona crescente e decrescente ao mesmo tempo, e também está limitada.
Sucessões Periódicas
Uma sucessão diz-se periódica se existe um número natural \( T > 0 \) tal que:
\[ a_{n+T} = a_n \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
O valor mínimo de \( T \) para o qual esta propriedade se verifica chama-se período da sucessão.
Um exemplo de sucessão periódica é \( a_n = \sin\left(\frac{2\pi n}{3}\right) \), que tem período 3.