O teorema da permanência do sinal para funções afirma que, se uma função real \( f \) tem um limite \( L \neq 0 \) para \( x \to x_0 \), existe uma vizinhança de \( x_0 \) tal que a função \( f(x) \) mantém o mesmo sinal de \( L \) para todos os valores de \( x \) nessa vizinhança (excluindo, eventualmente, \( x_0 \)). Em outros termos:
\[ \lim_{x\to x_0} f(x) = L > 0 \, \implies \, \exists \delta > 0 \, : \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \, , \, f(x) > 0 \]
Se, ao contrário, \( L < 0 \), então:
\[ \lim_{x\to x_0} f(x) = L < 0 \, \implies \, \exists \delta > 0 \, : \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \, , \, f(x) < 0 \]
Lembremos da definição de limite:
\[ \lim_{x\to x_0} f(x) = L \, \iff \, \forall \epsilon > 0 \,\, \exists \delta > 0 \, : \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \, , \, |f(x) - L| < \epsilon \]
Em particular, escolhido \( \displaystyle \epsilon = \frac{|L|}{2} \), temos
\[ L - \frac{|L|}{2} < f(x) < L + \frac{|L|}{2} \]
Agora, observemos que:
- Se \( L > 0 \), então
\[ \left( L - \frac{L}{2} \right) = \frac{L}{2} < f(x) < \frac{3L}{2} = \left( L + \frac{L}{2} \right) \qquad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \]
- Se \( L = -|L| < 0 \), então
\[ \left( -|L| - \frac{|L|}{2} \right) = -\frac{3|L|}{2} < f(x) < -\frac{|L|}{2} = \left( -|L| + \frac{|L|}{2} \right) \qquad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \]
Em ambos os casos, numa vizinhança de \( x_0 \), os valores da função \( f(x) \) têm o mesmo sinal de \( L \).
Exercício 1. Tomemos \( f(x) = e^x \). Calculamos o limite para \( x \to 0 \):
\[ \lim_{x \to 0} e^x = e^0 = 1 \]
Tomado \( \epsilon = \displaystyle \frac{1}{2} \), temos:
\[ |e^x - 1| < \frac{1}{2} \]
Isto implica:
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