O teorema da preservação do sinal para sequências estabelece que se uma sequência real \( a_n \) converge para um limite \( L \neq 0 \), existe um índice \( N \) a partir do qual todos os termos da sequência têm o mesmo sinal de \( L \). Por outras palavras:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L > 0 \, \implies \, \exists N \in \mathbb{N} \, : \, \forall n \geq N \, , \, a_n > 0 \]
Se pelo contrário \( L < 0 \), então:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L < 0 \, \implies \, \exists N \in \mathbb{N} \, : \, \forall n \geq N \, , \, a_n < 0 \]
Por definição, o limite de \( a_n \) é \( L \) se e somente se:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L \, \iff \, \forall \epsilon > 0 \, \exists N \in \mathbb{N} \, : \, \forall n \geq N \, , \, |a_n - L| < \epsilon \]
Em particular, escolhendo \( \epsilon = \displaystyle \frac{|L|}{2} \), obtemos a desigualdade:
\[ L - \frac{|L|}{2} < a_n < L + \frac{|L|}{2} \]
Agora, observemos os seguintes casos:
- Se \( L > 0 \), então:
\[ \frac{|L|}{2} < a_n < \frac{3|L|}{2} \quad \forall n \geq N \]
- Se \( L < 0 \), isto é \( L = -|L| \), então:
\[ -\frac{3|L|}{2} < a_n < -\frac{|L|}{2} \quad \forall n \geq N \]
Em ambos os casos, para \( n \geq N \), os termos da sequência \( a_n \) terão o mesmo sinal de \( L \).
Exercício 1: Consideremos a sequência \( \displaystyle a_n = \frac{1}{n} \). Calculemos o limite de \( a_n \) quando \( n \to \infty \):
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \]
Embora a sequência tenda para 0, não podemos aplicar o teorema da preservação do sinal visto que o limite é zero.
Exercício 2: Consideremos a sequência \( \displaystyle a_n = \frac{3}{n} - 2 \). Calculemos o limite de \( a_n \) quando \( n \to \infty \):
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n} - 2 \right) = -2 \]
Escolhemos \( \epsilon = 1 \). Devemos encontrar um índice \( N \) tal que para todo \( n \geq N \), se tenha \( |a_n + 2| < 1 \). Neste caso, \( \displaystyle |a_n + 2| = \left| \frac{3}{n} \right| \).
Queremos que \( \displaystyle \frac{3}{n} < 1 \), o que é satisfeito para \( n > 3 \). Portanto, para todo \( n \geq 4 \), \( a_n \) é negativo e tende para \( -2 \), mantendo o sinal negativo para todos os \( n \geq 4 \).
Exercício 3: Consideremos a sequência \( \displaystyle a_n = \frac{5}{n} + 1 \). Calculemos o limite de \( a_n \) quando \( n \to \infty \):
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{5}{n} + 1 \right) = 1 \]
Escolhemos \( \displaystyle \epsilon = \frac{1}{2} \). Devemos encontrar um índice \( N \) tal que para todo \( n \geq N \) se tenha
\[ |a_n - 1| < \frac{1}{2} \]
Neste caso, \( |a_n - 1| = \displaystyle \left| \frac{5}{n} \right| \).
Queremos que \( \displaystyle \frac{5}{n} < \frac{1}{2} \), o que é satisfeito para \( n > 10 \). Portanto, para todo \( n \geq 11 \), \( a_n \) é positivo e tende para \( 1 \), mantendo o sinal positivo para todos os \( n \geq 11 \).