Nesta seção examinaremos os passos para calcular a variância de uma variável aleatória que segue uma distribuição Gama. O cálculo da variância requer a determinação de certos momentos da distribuição, em particular o segundo momento \(\mathbb{E}(X^2)\) e o primeiro momento \(\mathbb{E}(X)\).
Inicialmente, calcularemos o segundo momento \(\mathbb{E}(X^2)\) resolvendo uma integral que envolve a função de densidade de probabilidade da distribuição Gama. Posteriormente, simplificaremos o cálculo por meio de uma mudança de variável e utilizaremos as propriedades da função Gama para obter uma expressão explícita. Finalmente, calcularemos a variância utilizando a definição \(\text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2\), uma vez estabelecido o valor do primeiro momento.
Índice
- Cálculo do Segundo Momento
- Mudança de Variável
- Uso da Função Gama
- Cálculo da Variância
- Significado dos Parâmetros
- Exemplo Numérico para Valor Esperado e Variância
Cálculo do Segundo Momento
Para calcular a variância de uma variável aleatória \(X\), o primeiro passo consiste em determinar o valor esperado de \(X^2\), denotado por \(\mathbb{E}(X^2)\). Este valor pode ser expresso através da seguinte integral:
\[ \mathbb{E}(X^2) = \int_{0}^{+\infty} x^2 f_X(x) \, dx \]
Substituindo a função de densidade de probabilidade \(f_X(x)\) da distribuição Gama, obtemos:
\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{1}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} x^{a+1} e^{-\frac{x}{\lambda}} \, dx \]
Mudança de Variável
Para simplificar o cálculo, efetuamos uma mudança de variável \(y = \frac{x}{\lambda}\), que implica \(x = \lambda y\) e \(dx = \lambda \, dy\). Substituindo na integral anterior, obtemos:
\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{1}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} \lambda^{a+1} y^{a+1} e^{-y} \, \lambda \, dy \]
Agrupando os termos, obtém-se:
\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{\lambda^{a+2}}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} y^{(a+2)-1} e^{-y} \, dy \]
Uso da Função Gama
A integral resultante corresponde à definição da função Gama:
\[ \int_{0}^{+\infty} y^{k-1} e^{-y} \, dy = \Gamma(k) \]
Substituindo \(k = a+2\), obtemos:
\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{\lambda^2}{\Gamma(a)} \Gamma(a+2) \]
Utilizando a propriedade \(\Gamma(a+2) = (a+1)a\Gamma(a)\), concluímos que:
\[ \mathbb{E}(X^2) = (a+1)a\lambda^2 \]
Cálculo da Variância
A variância é definida por:
\[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 \]
Para uma variável aleatória que segue uma distribuição Gama, a definição da distribuição nos dá:
\[ \mathbb{E}(X) = a\lambda \]
Elevando ao quadrado, obtemos:
\[ \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 = (a\lambda)^2 = a^2\lambda^2 \]
Substituindo estes resultados:
\[ \text{Var}(X) = (a+1)a\lambda^2 - a^2\lambda^2 \]
Simplificando, obtemos:
\[ \text{Var}(X) = a\lambda^2 \]
Assim, derivamos a expressão analítica da variância de uma variável aleatória \(X\) que segue uma distribuição Gama:
\[ \text{Var}(X) = a\lambda^2 \]
Significado dos Parâmetros
O parâmetro \(a\) (também denominado "parâmetro de forma") determina a forma da distribuição Gama. Em particular, controla o comportamento da cauda e a dispersão geral da distribuição. Valores mais elevados de \(a\) tendem a concentrar a distribuição em torno da média.
O parâmetro \(\lambda\) (conhecido também como "parâmetro de escala") regula o grau de dispersão da distribuição Gama. Valores maiores de \(\lambda\) produzem uma distribuição mais dispersa, aumentando assim a variância da variável aleatória \(X\).
Por conseguinte, a variância \(\text{Var}(X) = a\lambda^2\) evidencia como a dispersão de \(X\) é influenciada tanto pelo parâmetro \(a\) quanto pelo parâmetro \(\lambda\), tornando a análise dos momentos fundamental para compreender as propriedades estatísticas da distribuição Gama.
Exemplo Numérico para Valor Esperado e Variância
Suponhamos que uma variável aleatória \(X\) segue uma distribuição Gama com parâmetros \(a = 3\) (parâmetro de forma) e \(\lambda = 2\) (parâmetro de escala). O objetivo é calcular a variância de \(X\).
Começamos calculando o valor esperado \(\mathbb{E}(X)\). Para uma variável aleatória com distribuição Gama, o valor esperado é dado pela relação: \[ \mathbb{E}(X) = a \cdot \lambda \] Substituindo os valores dos parâmetros \(a\) e \(\lambda\), obtém-se: \[ \mathbb{E}(X) = 3 \cdot 2 = 6 \] Portanto, o valor esperado da variável aleatória \(X\) é igual a 6.
Em seguida, calculamos o segundo momento \(\mathbb{E}(X^2)\). Este pode ser determinado utilizando a relação: \[ \mathbb{E}(X^2) = (a+1) \cdot a \cdot \lambda^2 \] Substituindo os valores dos parâmetros, temos: \[ \mathbb{E}(X^2) = (3+1) \cdot 3 \cdot 2^2 = 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48 \] Portanto, o segundo momento da variável aleatória \(X\) é igual a 48.
Finalmente, calculamos a variância \(\text{Var}(X)\) utilizando a definição: \[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 \] Substituindo os valores calculados anteriormente, obtemos: \[ \text{Var}(X) = 48 - 6^2 = 48 - 36 = 12 \] Portanto, a variância da variável aleatória \(X\) é igual a 12.
Em conclusão, para uma variável aleatória \(X\) com distribuição Gama e parâmetros \(a = 3\) e \(\lambda = 2\), o valor esperado resulta ser \(6\) e a variância resulta ser \(12\). Tais resultados indicam que os valores de \(X\) tendem, em média, a concentrar-se em torno de 6, enquanto a dispersão dos valores em relação à média é moderada, com uma variância igual a 12.