Variância da Distribuição Gamma

Nesta seção, examinaremos os passos necessários para calcular a variância de uma variável aleatória que segue uma distribuição Gamma. O cálculo da variância envolve a determinação de certos momentos da distribuição, em particular o segundo momento \(\mathbb{E}(X^2)\) e o primeiro momento \(\mathbb{E}(X)\).

Primeiramente, calcularemos o segundo momento \(\mathbb{E}(X^2)\) resolvendo uma integral que envolve a função densidade de probabilidade da distribuição Gamma. Em seguida, simplificaremos o cálculo através de uma mudança de variável e usaremos as propriedades da função Gamma para obter uma expressão explícita. Finalmente, utilizaremos a definição \(\text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2\) para calcular a variância, uma vez determinado o valor do primeiro momento.

• Determinação do Segundo Momento
• Mudança de Variável
• Uso da Função Gamma
• Cálculo da Variância
• Significado dos Parâmetros
• Exemplo Numérico de Valor Esperado e Variância

Para calcular a variância de uma variável aleatória \(X\), o primeiro passo é determinar o valor esperado de \(X^2\), denotado como \(\mathbb{E}(X^2)\). Este valor pode ser expresso pela seguinte integral:

\[ \mathbb{E}(X^2) = \int_{0}^{+\infty} x^2 f_X(x) \, dx \]

Substituindo a função densidade de probabilidade \(f_X(x)\) da distribuição Gamma, obtemos:

\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{1}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} x^{a+1} e^{-\frac{x}{\lambda}} \, dx \]

Para simplificar o cálculo, realizamos uma mudança de variável \(y = \frac{x}{\lambda}\), o que implica \(x = \lambda y\) e \(dx = \lambda \, dy\). Substituindo na integral anterior, obtemos:

\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{1}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} \lambda^{a+1} y^{a+1} e^{-y} \, \lambda \, dy \]

Agrupando os termos, obtemos:

\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{\lambda^{a+2}}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} y^{(a+2)-1} e^{-y} \, dy \]

A integral resultante corresponde à definição da função Gamma:

\[ \int_{0}^{+\infty} y^{k-1} e^{-y} \, dy = \Gamma(k) \]

Substituindo \(k = a+2\), obtemos:

\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{\lambda^2}{\Gamma(a)} \Gamma(a+2) \]

Usando a propriedade \(\Gamma(a+2) = (a+1)a\Gamma(a)\), concluímos que:

\[ \mathbb{E}(X^2) = (a+1)a\lambda^2 \]

A variância é definida como:

\[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 \]

Para uma variável aleatória que segue uma distribuição Gamma, a definição da distribuição nos dá:

\[ \mathbb{E}(X) = a\lambda \]

Elevando ao quadrado:

\[ \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 = (a\lambda)^2 = a^2\lambda^2 \]

Substituindo estes resultados:

\[ \text{Var}(X) = (a+1)a\lambda^2 - a^2\lambda^2 \]

Simplificando:

\[ \text{Var}(X) = a\lambda^2 \]

Portanto, derivamos a expressão analítica para a variância de uma variável aleatória \(X\) que segue uma distribuição Gamma:

\[ \text{Var}(X) = a\lambda^2 \]

O parâmetro \(a\) (também conhecido como "parâmetro de forma") determina a forma da distribuição Gamma. Em particular, ele controla o comportamento da cauda e a dispersão geral da distribuição. Valores mais altos de \(a\) tendem a concentrar a distribuição em torno da média.

O parâmetro \(\lambda\) (também conhecido como "parâmetro de escala") regula o grau de dispersão da distribuição Gamma. Valores mais altos de \(\lambda\) resultam em uma distribuição mais dispersa, aumentando assim a variância da variável aleatória \(X\).

Consequentemente, a variância \(\text{Var}(X) = a\lambda^2\) destaca como a dispersão de \(X\) é influenciada por \(a\) e \(\lambda\), tornando a análise dos momentos fundamental para compreender as propriedades estatísticas da distribuição Gamma.

Suponha que uma variável aleatória \(X\) siga uma distribuição Gamma com parâmetros \(a = 3\) (parâmetro de forma) e \(\lambda = 2\) (parâmetro de escala). O objetivo é calcular a variância de \(X\).

Primeiro, calculamos o valor esperado \(\mathbb{E}(X)\). Para uma variável aleatória com distribuição Gamma, o valor esperado é dado pela relação: \[ \mathbb{E}(X) = a \cdot \lambda \] Substituindo os valores dos parâmetros \(a\) e \(\lambda\), obtemos: \[ \mathbb{E}(X) = 3 \cdot 2 = 6 \] Assim, o valor esperado da variável aleatória \(X\) é 6.

Em seguida, calculamos o segundo momento \(\mathbb{E}(X^2)\). Este pode ser determinado utilizando a relação: \[ \mathbb{E}(X^2) = (a+1) \cdot a \cdot \lambda^2 \] Substituindo os valores dos parâmetros, temos: \[ \mathbb{E}(X^2) = (3+1) \cdot 3 \cdot 2^2 = 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48 \] Assim, o segundo momento da variável aleatória \(X\) é 48.

Finalmente, calculamos a variância \(\text{Var}(X)\) usando a definição: \[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 \] Substituindo os valores calculados para \(\mathbb{E}(X^2)\) e \(\mathbb{E}(X)\), obtemos: \[ \text{Var}(X) = 48 - 6^2 = 48 - 36 = 12 \] Portanto, a variância da variável aleatória \(X\) é igual a \(12\).