Definizione di Funzione (Matematica): Formule, Proprietà ed Esercizi Svolti

Una funzione è una legge tra due insiemi, la quale associa ad ogni elemento del primo insieme (dominio) un unico elemento del secondo insieme (codominio). Analizzeremo la definizione formale di dominio, codominio, l'immagine e le proprietà principali come iniettività, suriettività e biettività.

Indice

• Definizione di Funzione
• Dominio, Codominio e Immagine
• Esempi di Funzioni
• Proprietà delle Funzioni
• Funzioni Iniettive
• Funzioni Non Iniettive
• Esercizi sulle Funzioni Iniettive
• Funzioni Suriettive
• Funzioni Non Suriettive
• Esercizi sulle Funzioni Suriettive
• Qualche Esempio
• Funzioni Biiettive
• Funzione Inversa
• Esercizi sulle Funzioni Biiettive
• Restrizione di una Funzione
• Esercizi sulla Restrizione di Funzioni

Formalmente, una funzione è una legge (o mappa) che associa a ogni elemento di un insieme \(X\) (denominato dominio) un unico elemento di un altro insieme \(Y\) (denominato codominio). La notazione utilizzata per esprimere una funzione è la seguente:

\[ f: X \to Y \quad , \quad x \mapsto f(x) \]

Oppure:

\[ \begin{align*} f \, : \, & X \longrightarrow Y \\ & x \longmapsto f(x) \end{align*} \]

In tal modo, si afferma che la funzione \(f\) è definita sull'insieme \(X\) e i valori assunti appartengono all'insieme \(Y\). Con la notazione \(f(x)\) si intende l'elemento \(y \in Y\) che è associato ad ogni \(x \in X\), con la funzione \(f\) che specifica la legge di corrispondenza tra gli elementi di \(X\) e quelli di \(Y\).

Come accennato precedentemente, il dominio di una funzione \(f\) è l'insieme \(X\) costituito da tutti gli elementi per i quali la funzione è definita. Per esempio, la funzione:

\[ f \, : \, \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad x \mapsto \frac{1}{x^2+1} \]

è definita su tutta la retta reale. Dunque \( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \). L'immagine è invece l'insieme dei valori assunti dalla funzione, che in questo caso particolare è \( \text{Imm}(f) = (0, 1] \).

Il codominio è l'insieme \(Y\) che contiene tutti i valori che possono essere raggiunti tramite la funzione \(f\), benché non tutti questi valori debbano necessariamente essere effettivamente ottenuti. L'immagine (o range) di una funzione \(f\) è l'insieme degli elementi di \(Y\) che sono effettivamente raggiunti dalla funzione, ed è definita come:

\[ \text{Imm}(f) = f(X) = \{ y \in Y \mid \exists x \in X \, : \, f(x) = y \} \]

Un esempio classico di funzione è la funzione lineare, che rappresenta una retta nel piano cartesiano descritta dall'equazione della retta, e che può essere scritta come:

\[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad f(x) = mx + q \]

dove \(m\) e \(q\) sono costanti reali. Un altro esempio importante è la funzione quadratica, che descrive una parabola e si esprime con:

\[ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad g(x) = ax^2 + bx + c \quad , \quad a \neq 0 \]

Le funzioni possiedono alcune proprietà fondamentali che permettono di caratterizzarle in modo più preciso.

Una funzione \( f: X \to Y \) si dice iniettiva se a valori distinti corrispondono immagini distinte. In altre parole, se due elementi di \( X \) sono distinti, le loro immagini mediante \( f \) sono anch'esse distinte. In termini matematici, la funzione è iniettiva se:

\[ x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2) \]

Un altro modo di dire che una funzione è iniettiva è che, se due elementi sono mappati nello stesso valore, devono essere uguali. Ovvero:

\[ f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 \]

Un esempio di funzione iniettiva è la funzione \( f \, : \, \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita come \( f(x) = x^3 \). Vediamo perché questa funzione è iniettiva:

• Se \( x_1 \neq x_2 \), allora \( x_1^3 \neq x_2^3 \), il che significa che le immagini di \( x_1 \) e \( x_2 \) sono distinte.
• In altre parole, per ogni coppia di valori distinti \( x_1 \) e \( x_2 \) appartenenti a \( \mathbb{R} \), i loro cubi non saranno mai uguali.

Non tutte le funzioni sono iniettive. Una funzione si dice non iniettiva quando esistono almeno due elementi distinti di \( X \) che hanno la stessa immagine in \( Y \). In altre parole, esistono \( x_1 \neq x_2 \) tale che \( f(x_1) = f(x_2) \).

Esempi di funzioni non iniettive includono:

• La funzione quadratica \( f(x) = x^2 \), che non è iniettiva su \( \mathbb{R} \). Infatti, \( f(2) = f(-2) = 4 \), ma \( 2 \neq -2 \), quindi \( f(x) = x^2 \) non è iniettiva.
• La funzione seno \( f(x) = \sin(x) \), che non è iniettiva su \( \mathbb{R} \), poiché \( \sin(0) = \sin(\pi) = 0 \), ma \( 0 \neq \pi \), quindi non è iniettiva.

Esercizio 1: Determina se la funzione \( f(x) = 2x + 3 \) è iniettiva.

Soluzione: La funzione è iniettiva se, per ogni coppia di valori distinti \( x_1 \) e \( x_2 \), le immagini \( f(x_1) \) e \( f(x_2) \) sono distinte. Supponiamo che \( f(x_1) = f(x_2) \), cioè:

\[ 2x_1 + 3 = 2x_2 + 3 \]

Sottraendo 3 da entrambi i membri otteniamo:

\[ 2x_1 = 2x_2 \]

Dividendo per 2:

\[ x_1 = x_2 \]

Poiché \( x_1 = x_2 \), la funzione è iniettiva.

Esercizio 2: Determina se la funzione \( f(x) = x^2 \) è iniettiva su \( \mathbb{R} \).

Soluzione: La funzione \( f(x) = x^2 \) non è iniettiva su \( \mathbb{R} \). Infatti, consideriamo i valori \( x_1 = -2 \) e \( x_2 = 2 \). Entrambi soddisfano \( f(x_1) = f(x_2) \), ovvero:

\[ (-2)^2 = 2^2 = 4 \]

Ma \( -2 \neq 2 \), quindi la funzione non è iniettiva. La funzione è iniettiva solo se definita su \( \mathbb{R}^+ \) o \( \mathbb{R}^- \), poiché in questi domini ogni numero ha un unico quadrato positivo.

Esercizio 3: Verifica se la funzione \( f(x) = \sin(x) \) è iniettiva su \( \mathbb{R} \).

Soluzione: La funzione \( f(x) = \sin(x) \) non è iniettiva su \( \mathbb{R} \), poiché esistono più valori di \( x \) che danno lo stesso risultato. Ad esempio, \( \sin(0) = \sin(\pi) = 0 \), ma \( 0 \neq \pi \). Quindi la funzione non è iniettiva su \( \mathbb{R} \). Se limitassimo il dominio della funzione, per esempio a \( \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] \), la funzione sarebbe iniettiva.

Esercizio 4: Determina se la funzione \( f(x) = \ln(x) \) è iniettiva sul dominio \( (0, \infty) \).

Soluzione: La funzione \( f(x) = \ln(x) \) è iniettiva sul dominio \( (0, \infty) \), poiché, se \( \ln(x_1) = \ln(x_2) \), allora necessariamente \( x_1 = x_2 \). Questo è vero per tutti i valori di \( x_1 \) e \( x_2 \) appartenenti al dominio \( (0, \infty) \).

Esercizio 5: Verifica se la funzione \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} \) è iniettiva su \( \mathbb{R}^* \) (tutti i reali tranne 0).

Soluzione: La funzione \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} \) è iniettiva su \( \mathbb{R}^* \), perché se \( \displaystyle \frac{1}{x_1} = \displaystyle \frac{1}{x_2} \), allora \( x_1 = x_2 \), dato che i numeri non possono essere uguali a meno che le frazioni non lo siano.

Una funzione \( f: X \to Y \) è suriettiva se, per ogni \( y \in Y \), esiste almeno un \( x \in X \) tale che:

\[ f(x) = y \]

In altre parole, una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio \( Y \) è l'immagine di almeno un elemento di \( X \).

Un esempio di funzione suriettiva è la funzione \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definita come \( f(x) = x^3 \). Vediamo perché questa funzione è suriettiva:

• Per ogni \( y \in \mathbb{R} \), esiste un \( x \in \mathbb{R} \) tale che \( x^3 = y \). Ad esempio, se \( y = 8 \), allora \( x = 2 \) poiché \( 2^3 = 8 \).
• In generale, per ogni valore di \( y \), esiste un valore \( x \) che soddisfa \( x^3 = y \), quindi la funzione è suriettiva.

Una funzione si dice non suriettiva se esiste almeno un elemento \( y \in Y \) che non è immagine di alcun elemento \( x \in X \). In altre parole, esistono valori nel codominio \( Y \) che non sono immagine di nessun elemento nel dominio \( X \).

Esempi di funzioni non suriettive includono:

• La funzione \( f(x) = x^2 \) definita su \( \mathbb{R} \). Il codominio di questa funzione è \( \mathbb{R}^+ \) (i numeri reali non negativi), quindi non ci sono valori di \( x \) che diano risultati negativi. Ad esempio, non esiste alcun \( x \) tale che \( f(x) = -1 \), quindi la funzione non è suriettiva su \( \mathbb{R} \).
• La funzione \( f(x) = \sin(x) \), definita su \( \mathbb{R} \), ha come codominio l'intervallo \( [-1, 1] \). Quindi, per esempio, non esiste alcun valore di \( x \) che possa dare \( f(x) = 2 \), pertanto la funzione non è suriettiva su \( \mathbb{R} \).

Esercizio 1: Determina se la funzione \( f(x) = 2x + 3 \) è suriettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \).

Soluzione: La funzione è suriettiva se per ogni \( y \in \mathbb{R} \), esiste un \( x \in \mathbb{R} \) tale che \( f(x) = y \). Supponiamo di avere \( y \in \mathbb{R} \). Risolvendo l'equazione \( f(x) = 2x + 3 = y \), otteniamo:

\[ 2x = y - 3 \]

\[ x = \frac{y - 3}{2} \]

Poiché \( x \) esiste per ogni \( y \in \mathbb{R} \), la funzione è suriettiva.

Esercizio 2: Determina se la funzione \( f(x) = x^2 \) è suriettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \).

Soluzione: La funzione \( f(x) = x^2 \) non è suriettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \), perché non esistono valori di \( x \) tali che \( f(x) = -1 \) (poiché il quadrato di un numero reale è sempre non negativo). Il codominio di questa funzione è \( \mathbb{R}^+ \), quindi non è suriettiva su \( \mathbb{R} \).

Esercizio 3: Verifica se la funzione \( f(x) = \sin(x) \) è suriettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \).

Soluzione: La funzione \( f(x) = \sin(x) \) non è suriettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \), perché il valore di \( \sin(x) \) è limitato all'intervallo \( [-1, 1] \). Quindi non esistono valori di \( x \) che possano dare \( \sin(x) = 2 \), pertanto non è suriettiva su \( \mathbb{R} \).

Esercizio 4: Determina se la funzione \( f(x) = \ln(x) \) è suriettiva su \( \mathbb{R} \).

Soluzione: La funzione \( f(x) = \ln(x) \) è suriettiva da \( (0, \infty) \) a \( \mathbb{R} \), poiché per ogni \( y \in \mathbb{R} \), esiste un \( x \in (0, \infty) \) tale che \( \ln(x) = y \). Infatti, se \( y \in \mathbb{R} \), possiamo trovare \( x = e^y \) tale che \( \ln(x) = y \).

Esercizio 5: Verifica se la funzione \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} \) è suriettiva su \( \mathbb{R}^* \) (tutti i reali tranne 0) da \( \mathbb{R}^* \) a \( \mathbb{R}^* \).

Soluzione: La funzione \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} \) è suriettiva su \( \mathbb{R}^* \), poiché per ogni \( y \in \mathbb{R}^* \), esiste un \( x \in \mathbb{R}^* \) tale che \( \displaystyle \frac{1}{x} = y \). Infatti, se \( y \in \mathbb{R}^* \), possiamo trovare \( x = \displaystyle \frac{1}{y} \) tale che \( f(x) = y \).

Una funzione \( f \) si dice biettiva se è sia iniettiva che suriettiva. In tale caso, \( f \) stabilisce una corrispondenza biunivoca tra gli elementi del dominio e quelli del codominio, e ammette una funzione inversa:

\[ f^{-1}: Y \to X \]

Tale inversa soddisfa la relazione:

\[ f^{-1}(y) = x \quad \text{dove} \quad f(x) = y \]

La funzione inversa \( f^{-1} \) è definita per ogni \( y \in Y \), ed è sia una funzione inversa destra che sinistra, poiché per ogni \( y \in Y \) soddisfa le seguenti identità:

\[ f(f^{-1}(y)) = y \quad \text{e} \quad f^{-1}(f(x)) = x \]

Esempio di Funzione Biiettiva

Consideriamo la funzione \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita come \( f(x) = 2x + 1 \). Verifichiamo che questa funzione è biiettiva:

• La funzione è iniettiva: supponiamo che \( f(x_1) = f(x_2) \), cioè \( 2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 \). Risolvendo, otteniamo \( x_1 = x_2 \), quindi la funzione è iniettiva.
• La funzione è suriettiva: per ogni \( y \in \mathbb{R} \), possiamo risolvere l'equazione \( 2x + 1 = y \), ottenendo \( x = \displaystyle \frac{y - 1}{2} \), che è un valore reale per ogni \( y \in \mathbb{R} \). Quindi, la funzione è suriettiva.
• Poiché la funzione è sia iniettiva che suriettiva, è anche biiettiva ed ammette una funzione inversa \( f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \( f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y - 1}{2} \).

La funzione inversa \( f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y - 1}{2} \) soddisfa le seguenti identità:

• Per ogni \( y \in \mathbb{R} \), \( f(f^{-1}(y)) = f\left(\frac{y - 1}{2}\right) = 2\left(\displaystyle  \frac{y - 1}{2}\right) + 1 = y \), quindi la relazione \( f(f^{-1}(y)) = y \) è soddisfatta.
• Per ogni \( x \in \mathbb{R} \), \( f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x + 1) = \displaystyle \frac{(2x + 1) - 1}{2} = x \), quindi la relazione \( f^{-1}(f(x)) = x \) è soddisfatta.

Esempio di Funzione Non Biiettiva

Consideriamo la funzione \( f(x) = x^2 \) definita su \( \mathbb{R} \). Questa funzione non è biiettiva, poiché:

• Non è iniettiva: ad esempio, \( f(2) = 4 \) e \( f(-2) = 4 \), ma \( 2 \neq -2 \), quindi la funzione non è iniettiva.
• Non è suriettiva: ad esempio, non esiste alcun \( x \) tale che \( f(x) = -1 \), quindi la funzione non è suriettiva su \( \mathbb{R} \).
• Poiché non è né iniettiva né suriettiva, non è biiettiva e quindi non ammette una funzione inversa su \( \mathbb{R} \).

Esercizio 1: Determina se la funzione \( f(x) = 3x - 4 \) è biiettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \). Se è biiettiva, scrivi la funzione inversa.

Soluzione: La funzione è iniettiva perché se \( f(x_1) = f(x_2) \), cioè \( 3x_1 - 4 = 3x_2 - 4 \), otteniamo \( x_1 = x_2 \). Inoltre, è suriettiva perché per ogni \( y \in \mathbb{R} \), possiamo risolvere \( 3x - 4 = y \) per ottenere \( x = \displaystyle \frac{y + 4}{3} \). La funzione è quindi biiettiva e la sua inversa è \( f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y + 4}{3} \).

Esercizio 2: Verifica se la funzione \( f(x) = x^2 \) è biiettiva da \( \mathbb{R}^+ \) a \( \mathbb{R}^+ \).

Soluzione: La funzione è iniettiva su \( \mathbb{R}^+ \) perché \( x_1^2 = x_2^2 \) implica \( x_1 = x_2 \) per \( x_1, x_2 \in \mathbb{R}^+ \). È anche suriettiva su \( \mathbb{R}^+ \), poiché per ogni \( y \in \mathbb{R}^+ \), esiste un \( x = \sqrt{y} \) tale che \( f(x) = y \). La funzione è quindi biiettiva su \( \mathbb{R}^+ \) e la sua inversa è \( f^{-1}(y) = \sqrt{y} \).

Esercizio 3: Determina se la funzione \( f(x) = x^3 \) è biiettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \). Scrivi la funzione inversa.

Soluzione: La funzione \( f(x) = x^3 \) è sia iniettiva (poiché \( x_1^3 = x_2^3 \) implica \( x_1 = x_2 \)) che suriettiva (per ogni \( y \in \mathbb{R} \), esiste un \( x = \sqrt[3]{y} \) tale che \( f(x) = y \)). La funzione è quindi biiettiva e la sua inversa è \( f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \).

Esercizi Addizionali

Esercizio 4: Verifica se la funzione \( f(x) = e^x \) è biiettiva da \( \mathbb{R} \) a \( (0, \infty) \).

Soluzione: La funzione \( f(x) = e^x \) è iniettiva (poiché \( e^{x_1} = e^{x_2} \) implica \( x_1 = x_2 \)) e suriettiva su \( (0, \infty) \), poiché per ogni \( y \in (0, \infty) \), esiste un \( x = \ln(y) \) tale che \( f(x) = y \). La funzione è quindi biiettiva e la sua inversa è \( f^{-1}(y) = \ln(y) \).

Esercizio 5: Determina se la funzione \( f(x) = x + 2 \) è biiettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \).

Soluzione: La funzione \( f(x) = x + 2 \) è biiettiva, poiché è sia iniettiva che suriettiva. La funzione inversa è \( f^{-1}(y) = y - 2 \).

La restrizione di una funzione è un concetto di fondamentale importanza, che consente di restringere il dominio di una funzione a un sottoinsieme specifico. Questa operazione è particolarmente utile quando si desidera garantire che una funzione sia iniettiva e suriettiva, condizioni necessarie per l'invertibilità. Ad esempio, consideriamo la funzione quadratica \( f(x) = x^2 \), la quale non è iniettiva su \( \mathbb{R} \) poiché per ogni \( y > 0 \) esistono due preimmagini \( x_1 = \sqrt{y} \) e \( x_2 = -\sqrt{y} \). Tuttavia, restringendo il dominio a \( [0, +\infty) \), otteniamo una funzione iniettiva, permettendo così l'esistenza di una funzione inversa definita. 

Esempio di Restrizione: Funzione Quadratica

Consideriamo la funzione \( f(x) = x^2 \) definita su \( \mathbb{R} \). Questa funzione non è iniettiva, perché esistono due valori distinti \( x_1 \) e \( x_2 \) tali che \( f(x_1) = f(x_2) \). Ad esempio, \( f(2) = f(-2) = 4 \). Tuttavia, se restringiamo il dominio di \( f(x) \) al sottoinsieme \( [0, +\infty) \), la funzione diventa iniettiva. Infatti, per \( x_1, x_2 \in [0, +\infty) \), l'uguaglianza \( f(x_1) = f(x_2) \) implica \( x_1 = x_2 \), garantendo che la funzione sia ora iniettiva.

La restrizione della funzione a \( [0, +\infty) \) rende la funzione iniettiva, e possiamo definire la sua funzione inversa:

\[ f^{-1}(y) = \sqrt{y}, \quad y \geq 0. \]

Altri Esempi di Restrizione

La restrizione di una funzione può essere applicata in vari contesti per semplificare il comportamento della funzione o per adattarla a un contesto specifico:

• Se \( f(x) = \sin(x) \) su \( \mathbb{R} \), possiamo restringere il dominio a \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) per renderla iniettiva. In questo caso, la funzione inversa sarà \( f^{-1}(y) = \arcsin(y) \), con \( y \in [-1, 1] \).
• Se \( f(x) = \tan(x) \), definita su \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \), la funzione è iniettiva e suriettiva su questo dominio, e la sua inversa è \( f^{-1}(y) = \arctan(y) \).

Esercizio 1: Determina se la funzione \( f(x) = x^3 \) è iniettiva su \( \mathbb{R} \). Quindi, restringi il dominio in modo che la funzione sia biiettiva e trova la sua funzione inversa.

Soluzione: La funzione \( f(x) = x^3 \) è già iniettiva su \( \mathbb{R} \), poiché \( f(x_1) = f(x_2) \) implica \( x_1 = x_2 \). Non è necessario fare alcuna restrizione, e la funzione inversa è \( f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \).

Esercizio 2: La funzione \( f(x) = x^2 \) non è iniettiva su \( \mathbb{R} \). Restringi il dominio a un intervallo in cui la funzione sia iniettiva e trova la funzione inversa.

Soluzione: Per rendere la funzione iniettiva, restringiamo il dominio a \( [0, +\infty) \). In questo caso, la funzione inversa sarà \( f^{-1}(y) = \sqrt{y} \), con \( y \geq 0 \).

Esercizio 3: Considera la funzione \( f(x) = \ln(x) \) definita su \( (0,+\infty) \). Restringi il dominio a \( [1,+\infty) \) e scrivi la funzione inversa.

Soluzione: La funzione logaritmica è iniettiva e suriettiva su \( (0,+\infty) \) (con codominio \( \mathbb{R} \)). Se restringiamo il dominio a \( [1,+\infty) \), l'immagine diventa \( [0,+\infty) \) (poiché \( \ln(1)=0 \) e \( \ln(x) \) è strettamente crescente). Di conseguenza, la funzione inversa è:

\[ f^{-1}(y)=e^y, \quad y\in [0,+\infty). \]

Esercizio 4: La funzione \( f(x) = \sin(x) \) non è iniettiva su \( \mathbb{R} \). Restringi il dominio a un intervallo in cui la funzione sia iniettiva e trova la funzione inversa.

Soluzione: La funzione \( f(x) = \sin(x) \) è iniettiva su \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \). La funzione inversa sarà \( f^{-1}(y) = \arcsin(y) \), con \( y \in [-1, 1] \).

La restrizione di una funzione consente di manipolare il dominio di una funzione per ottenere proprietà desiderate come l'iniettività, la suriettività o la biiettività.