Gli insiemi sono ovunque intorno a noi: l'insieme degli studenti della tua classe, l'insieme delle canzoni nella tua playlist preferita, l'insieme dei numeri pari. Ma cosa succede quando questi insiemi si "incontrano"?

I numeri sono il linguaggio universale della matematica. Dal semplice conteggio di oggetti alle equazioni più complesse della fisica moderna, i numeri ci accompagnano in ogni aspetto della vita quotidiana e della ricerca scientifica.

Lo studio delle posizioni reciproche tra due rette è uno degli argomenti fondamentali della geometria analitica piana.

La proiezione di un punto su una retta rappresenta uno dei concetti fondamentali della geometria analitica.

L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per cui la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano che hanno distanza costante da un punto fisso, detto centro. Tale distanza costante prende il nome di raggio.

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la distanza da un punto fisso (fuoco) è uguale alla distanza da una retta fissa (direttrice).

La retta è un concetto primitivo della geometria euclidea, ossia non definibile in termini più elementari, ma assunto come ente fondamentale.

Una disequazione di secondo grado è un'espressione algebrica che stabilisce una relazione d'ordine tra due termini contenenti una variabile di secondo grado. Può essere scritta nella forma:

Una funzione è una legge tra due insiemi, la quale associa ad ogni elemento del primo insieme (dominio) un unico elemento del secondo insieme (codominio).

In questa sezione esamineremo i passaggi per calcolare la varianza di una variabile aleatoria che segue una distribuzione Gamma.

Una disequazione di primo grado è un'espressione algebrica che stabilisce una relazione d'ordine tra due termini contenenti una variabile lineare. Può essere scritta nella forma:

\[ a x + b \leq 0 \quad \text{oppure} \quad a x + b \geq 0 \]

Un'equazione è di secondo grado se e solo se può essere scritta nella seguente forma:

\[ a x ^ 2 + b x + c = 0 \quad , \quad a \neq 0 \]

La disuguaglianza di Bernoulli, enunciata dal matematico svizzero Jacob Bernoulli nel 1689, è di fondamentale importanza perché consente di stabilire stime per eccesso e per difetto per le funzioni esponenziali e polinomiali.

Il teorema di Cauchy è un risultato fondamentale che estende il teorema di Lagrange introducendo una relazione tra due funzioni.

Le successioni numeriche e i limiti di successioni sono concetti fondamentali in analisi matematica.

Il teorema di Stolz-Cesàro fornisce uno strumento utile per calcolare il limite di un rapporto di successioni. È particolarmente utile quando il denominatore tende all'infinito ed il calcolo del limite non è immediato.

In questa pagina vedremo come calcolare la derivata del logaritmo in base \( b > 0 \) utilizzando due forme equivalenti per esprimere il rapporto incrementale: per \( h \to 0 \) e per \( x \to x_0 \):

Le successioni monotone (sia crescenti che decrescenti) godono di una proprietà molto importante: hanno sempre limite, finito o infinito.

In analisi matematica, una successione è una legge che associa a ogni numero naturale \( n \in \mathbb{N} \) un elemento \( a_n \) appartenente a un insieme \( X \).

Il Teorema di Lagrange, noto anche come teorema del valor medio, è un risultato fondamentale in analisi matematica.

Il Teorema di Rolle è un risultato fondamentale applicabile alle funzioni continue e derivabili.

Il Teorema di Weierstrass afferma che una funzione continua definita su un intervallo chiuso e limitato assume necessariamente un valore massimo e un valore minimo.

Questa tabella raccoglie le regole fondamentali di derivazione.

Per comprendere a fondo le proprietà dei logaritmi, inizieremo dalla loro definizione. Da qui, dimostreremo passo dopo passo le principali regole che permettono di semplificare e manipolare le espressioni logaritmiche.

Vediamo come calcolare la derivata delle funzioni seno e coseno, utilizzando il limite del rapporto incrementale e le identità trigonometriche fondamentali.

Le funzioni pari e funzioni dispari si distinguono per le loro simmetrie: le funzioni pari sono simmetriche rispetto all’asse delle ordinate, mentre le funzioni dispari lo sono rispetto all’origine.

La moda è una delle misure di tendenza centrale più semplici e utili per comprendere la distribuzione di un insieme di dati. Essa rappresenta il valore che appare con la maggiore frequenza all'interno di un dataset.

La media aritmetica, anche chiamata semplicemente media, è una delle misure di tendenza centrale più utilizzate in statistica.

In questa pagina vedremo come calcolare la derivata del logaritmo naturale utilizzando due forme equivalenti per esprimere il rapporto incrementale: per \( h \to 0 \) e per \( x \to x_0 \). Formalmente, come:

Le operazioni sui limiti sono di fondamentale importanza perché ci permettono di calcolare il limite di una somma, di un prodotto o di un quoziente deducendolo direttamente dai limiti delle singole su

Iniziamo con la derivata della tangente \( f(x) = \tan(x) \). Il limite del rapporto incrementale è

Abbiamo già calcolato alcune derivate di funzioni elementari mediante limite di rapporto incrementale della funzione \(f(x)\).

In questa pagina vedremo come calcolare la derivata della funzione potenza utilizzando due forme equivalenti per esprimere il rapporto incrementale: per \( h \to 0 \) e per \( x \to x_0 \). Formalmente, come:

In questa pagina vedremo come calcolare la derivata della funzione esponenziale utilizzando due forme equivalenti per esprimere il rapporto incrementale: per \( h \to 0 \) e per \( x \to x_0 \). Formalmente, come:

Il teorema della permanenza del segno per le successioni afferma che se una successione reale \( a_n \) tende a un limite \( L \neq 0 \), esiste un indice \( N \) oltre il quale tutti i termini della successione hanno lo stesso segno di \( L \).

Il teorema della permanenza del segno per le funzioni afferma che, se una funzione reale \( f \) ha un limite \( L \neq 0 \) per \( x \to x_0 \), esiste un intorno di \( x_0 \) tale che la funzione \( f(x) \) mantiene lo stesso segno di \( L \) per tu

Un'equazione di primo grado è un polinomio di primo grado eguagliato a zero. In generale, un'equazione è di primo grado se può essere scritta nella forma canonica:

\[ ax + b = 0 \quad \text{con} \quad a \neq 0 \]

Sia \( a \neq 0 \) e sia \( n \in \mathbb{N} \). La potenza \( n \)-esima di \( a \), denotata con il simbolo \( a^n \), è definita come il prodotto di \( a \) per se stesso \( n \) volte. In formule, tale prodotto si esprime come: