Inéquations du Premier Degré

Une inéquation du premier degré est une expression algébrique qui établit une relation d'ordre entre deux termes contenant une variable linéaire. Elle peut être écrite sous la forme :

\[ a x + b \leq 0 \quad \text{ou} \quad a x + b \geq 0 \]

où \( a \) et \( b \) sont des coefficients réels avec \( a \neq 0 \) et \( x \) est la variable inconnue. On parle d'inéquation stricte si

\[ a x + b < 0 \quad \text{ou} \quad a x + b > 0 \]

Table des matières

• Différence entre Équations et Inéquations du Premier Degré
• Principes d'Équivalence pour les Inéquations
• Comment Résoudre les Inéquations du Premier Degré
• Représentation Graphique des Solutions des Inéquations du Premier Degré

Une équation du premier degré est une égalité entre deux expressions contenant une variable linéaire. Sa solution est constituée d'une seule valeur qui satisfait l'égalité. Une inéquation du premier degré, en revanche, définit un ensemble de valeurs pour lesquelles la relation d'ordre est vérifiée. L'ensemble des solutions d'une inéquation est généralement constitué d'un intervalle de nombres réels.

La résolution d'une inéquation du premier degré repose sur trois principes fondamentaux :

Premier Principe d'Équivalence

Le principe d'équivalence pour les inéquations, ou principe d'addition, affirme que, si l'on ajoute ou soustrait le même nombre des deux membres d'une inéquation, la relation d'ordre ne change pas. Par exemple :

Si \( a x + b \leq 0 \), alors nous pouvons ajouter \( c \) des deux côtés et obtenir :

\[ a x + b + c \leq c \]

Deuxième Principe d'Équivalence

Le deuxième principe d'équivalence, affirme que, si l'on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un nombre positif, la relation d'ordre ne change pas. Cependant, si l'on multiplie ou divise par un nombre négatif, l'inéquation doit être inversée. Voici quelques exemples :

Si \( a x + b \leq 0 \) et que l'on multiplie les deux membres par un nombre positif \( k \), nous obtenons :

\[ k(a x + b) \leq k \cdot 0 \]

Si, en revanche, nous multiplions par un nombre négatif \( k \), l'inéquation devient :

\[ k(a x + b) \geq k \cdot 0 \]

Attention au Changement de Signe de l'Inéquation

Lorsque l'on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, il est essentiel d'inverser le signe de l'inéquation. Par exemple :

Si \( -3 x \leq 6 \), en divisant les deux membres par \( -3 \), nous devons inverser le signe de l'inéquation :

\[ x \geq -2 \]

La résolution d'une inéquation du premier degré peut être divisée en étapes claires et systématiques. Les étapes générales pour résoudre une inéquation du premier degré sont les suivantes :

Étapes générales pour résoudre une inéquation

• Isoler le terme avec la variable : Déplacez tous les termes qui ne contiennent pas la variable d'un côté (généralement le membre de droite) de l'inéquation et les termes contenant la variable de l'autre côté.
• Appliquer le principe d'addition ou de soustraction : Si nécessaire, ajoutez ou soustrayez le même nombre des deux membres de l'inéquation pour isoler le terme avec la variable.
• Multiplier ou diviser par un coefficient : Si la variable a un coefficient numérique, divisez les deux membres par le coefficient de la variable. Si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif, souvenez-vous d'inverser le signe de l'inéquation.
• Vérification de la solution : Une fois la variable isolée, vérifiez que la solution satisfait l'inéquation initiale.

Exemples pratiques avec explications étape par étape

Voyons maintenant un exemple pratique de résolution d'une inéquation du premier degré :

Exemple 1. Résolvez l'inéquation \( 3x - 5 \leq 7 \).

Commençons par appliquer les étapes décrites ci-dessus :

1. Isoler le terme avec la variable : Ajoutons \( 5 \) des deux membres pour obtenir : \[ 3x \leq 7 + 5 \quad \Rightarrow \quad 3x \leq 12 \]
2. Diviser les deux membres par \( 3 \) : Divisons les deux membres par \( 3 \) pour isoler \( x \) : \[ x \leq \frac{12}{3} \quad \Rightarrow \quad x \leq 4 \]
3. Vérification de la solution : La solution \( x \leq 4 \) est la réponse finale. Si nous remplaçons \( x = 4 \) dans l'inéquation originale, nous aurions : \[ 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7 \quad \Rightarrow \quad 7 \leq 7 \] Ce qui est vrai. Ainsi, la solution est correcte et la représentation graphique est la suivante :

Exemple 2: Résolvez l'inéquation \( -2x + 3 > 7 \)

Voyons maintenant un autre exemple avec un coefficient négatif devant la variable :

1. Isoler le terme avec la variable : Soustrayons \( 3 \) des deux membres : \[ -2x > 7 - 3 \quad \Rightarrow \quad -2x > 4 \]
2. Diviser les deux membres par \( -2 \) : Lorsque nous divisons par un nombre négatif, nous devons inverser le signe de l'inéquation : \[ x < \frac{4}{-2} \quad \Rightarrow \quad x < -2 \]
3. Vérification de la solution : La solution \( x < -2 \) est correcte. Si nous remplaçons \( x = -3 \) (qui est inférieur à -2), nous aurions : \[ -2(-3) + 3 = 6 + 3 = 9 \quad \Rightarrow \quad 9 > 7 \] Ce qui est vrai. Ainsi, la solution est correcte et la représentation graphique est la suivante.

Comme nous l'avons déjà vu, la représentation graphique des solutions d'une inéquation du premier degré sur une droite numérique est un moyen très utile pour visualiser l'intervalle de solutions. En général, la solution d'une inéquation du premier degré peut être représentée comme un segment ou une partie de la droite numérique, en fonction de si l'inégalité est stricte ou non.

Comment représenter les solutions sur une droite numérique

Pour représenter les solutions d'une inéquation du premier degré sur une droite numérique, suivez ces étapes :

1. Identifiez la solution : Une fois l'inéquation résolue, déterminez l'intervalle des solutions. Par exemple, si la solution est \( x \leq 4 \), l'intervalle des solutions est \( (-\infty, 4] \).
2. Tracez la droite numérique : Dessinez une droite horizontale et marquez les numéros significatifs, comme les limites de l'intervalle de solutions.
3. Indiquez la solution :
   • Si l'inéquation est du type \( \leq \) ou \( \geq \), indiquez la limite de l'intervalle avec un cercle fermé sur la droite numérique.
   • Si l'inéquation est du type \( < \) ou \( > \), indiquez la limite avec un cercle ouvert, ce qui indique que ce point n'est pas inclus dans la solution.
4. Indiquez l'intervalle : Tracez une ligne continue ou pointillée pour représenter l'intervalle des solutions.

Interprétation Graphique de la Solution

L'interprétation graphique des solutions d'une inéquation sur une droite numérique permet de visualiser rapidement l'ensemble des valeurs qui satisfont la relation. Voici quelques exemples de la manière dont les solutions sont représentées :

Exemple 1. Solution \( x \leq 4 \)

La solution \( x \leq 4 \) implique que tous les nombres inférieurs ou égaux à \( 4 \) sont des solutions. La représentation graphique est la suivante :

Solution. \( x \leq 4 \).

Sur la droite numérique, nous voyons un cercle fermé en \( 4 \) (car \( 4 \) est inclus) et un demi-droite partant de \( -\infty \) et allant vers \( 4 \).

Exemple 2. Solution \( x > -2 \).

La solution \( x > -2 \) implique que tous les nombres supérieurs à \( -2 \) sont des solutions. La représentation graphique est la suivante :

Sur la droite numérique, nous voyons un cercle ouvert en \( -2 \) (car \( -2 \) n'est pas inclus) et une ligne continue partant de \( -2 \) et allant vers \( +\infty \).

Exemple 3. Solution \( -2 \leq x < 5 \)

La solution \( -2 \leq x < 5 \) est un intervalle qui inclut \( -2 \) mais exclut \( 5 \). La représentation graphique est la suivante :

Sur la droite numérique, nous voyons un cercle fermé en \( -2 \) et un cercle ouvert en \( 5 \), avec une ligne continue entre les deux.

L'interprétation graphique de ces solutions montre visuellement quelles valeurs satisfont l'inéquation, facilitant ainsi la compréhension des solutions pour les étudiants.