Il teorema di Cauchy è un risultato fondamentale che estende il teorema di Lagrange introducendo una relazione tra due funzioni.
Teorema di Cauchy
Siano \(f, g : [a,b] \to \mathbb{R}\) funzioni continue su \([a,b]\) e derivabili in \((a,b)\), con \(g' \neq 0\) in \((a,b)\). Allora esiste \(\xi \in (a,b)\) tale che:
\[\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\]
Si osservi che \(g(b) - g(a) \neq 0\) in virtù dell'ipotesi \(g' \neq 0\).
Dimostrazione. Consideriamo la funzione ausiliaria:
\[h(x) = f(x)[g(b) - g(a)] - g(x)[f(b) - f(a)]\]
Questa funzione soddisfa:
- \(h\) è continua su \([a,b]\) (in quanto combinazione di funzioni continue)
- \(h\) è derivabile in \((a,b)\) (in quanto sia \(f\) che \(g\) sono derivabili)
Valutiamo \(h\) agli estremi:
Per \(x = a\):
\begin{align} h(a) &= f(a)[g(b) - g(a)] - g(a)[f(b) - f(a)] \\ &= f(a)g(b) - f(a)g(a) - g(a)f(b) + g(a)f(a) \\ & = f(a)g(b) - g(a)f(b)\end{align}
Per \(x = b\):
\begin{align} h(b) &= f(b)[g(b) - g(a)] - g(b)[f(b) - f(a)] \\ &= f(b)g(b) - f(b)g(a) - g(b)f(b) + g(b)f(a) \\ &= f(a)g(b) - g(a)f(b)\end{align}
Pertanto, \(h(a) = h(b)\). Per il teorema di Rolle, esiste \(\xi \in (a,b)\) tale che \(h'(\xi) = 0\).
Calcoliamo \(h'(x)\):
\[h'(x) = f'(x)[g(b) - g(a)] - g'(x)[f(b) - f(a)]\]
Per \(x = \xi\), abbiamo che \(h'(\xi) = 0\) implica:
\[f'(\xi)[g(b) - g(a)] - g'(\xi)[f(b) - f(a)] = 0\]
\[f'(\xi)[g(b) - g(a)] = g'(\xi)[f(b) - f(a)]\]
Poiché \(g' \neq 0\) in \((a,b)\), possiamo dividere entrambi i membri per \(g'(\xi)\):
\[\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\]
Questo completa la dimostrazione del teorema di Cauchy.
