Il Teorema di Lagrange, noto anche come teorema del valor medio, è un risultato fondamentale in analisi matematica. Questo teorema afferma che, data una funzione continua su un intervallo chiuso \( [a, b]\) e derivabile in \( (a, b) \), esiste almeno un punto in cui la derivata coincide con il rapporto incrementale tra gli estremi dell'intervallo. La dimostrazione si basa sul Teorema di Rolle e sulla costruzione di una funzione ausiliaria.
Teorema di Lagrange (o del Valor Medio)
Sia \( f : [a,b] \to \mathbb{R} \) continua su \([a,b]\) e derivabile in ogni punto di \( (a,b) \). Allora esiste almeno un punto \( \xi \in (a,b) \) tale che:
\[ f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
Dimostrazione. Per dimostrare questo teorema, costruiamo una funzione ausiliaria \(F(x)\) che ci permetterà di applicare il Teorema di Rolle. Definiamo:
\[ F(x) = f(x) - \left[f(a) + (x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right] \]
Questa funzione \(F(x)\) è la differenza tra \(f(x)\) e la retta che passa per i punti \((a,f(a))\) e \((b,f(b))\). È facile verificare che \(F(a) = F(b) = 0\). Inoltre, \(F\) è continua su \([a,b]\) e derivabile su \((a,b)\), ereditando queste proprietà da \(f\).
Applicando il Teorema di Rolle a \(F\), esiste almeno un punto \(\xi \in (a,b)\) tale che \(F'(\xi) = 0\). Calcolando la derivata di \(F\) otteniamo:
\[ F'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
Quindi, \(F'(\xi) = 0\) implica la tesi del teorema. Questo punto \( \xi \) non è necessariamente unico.
Corollari del Teorema di Lagrange
Corollario 1. Se una funzione ha derivata nulla in ogni punto di un intervallo, allora la funzione è costante su quell'intervallo.
Dimostrazione. Fissiamo un punto \(x_0\) nell'intervallo. Per ogni altro punto \(x\), applicando il teorema di Lagrange all'intervallo \([x_0,x]\), otteniamo:
\[ f(x) - f(x_0) = f'(\xi)(x - x_0) = 0 \]
Quindi \(f(x) = f(x_0)\) per ogni \(x\) nell'intervallo.
Corollario 2. Se \(f\) è derivabile su un intervallo \(I\) e \(f'(x) \geq 0\) per ogni \(x \in I\), allora \(f\) è non decrescente su \(I\). Analogamente, se \(f'(x) \leq 0\), allora \(f\) è non crescente. Se \(f'(x) > 0\) per ogni \(x \in I\), allora \(f\) è strettamente crescente; se \(f'(x) < 0\), allora \(f\) è strettamente decrescente.
Dimostrazione. Presi due punti qualsiasi \(x_1 < x_2\) in \(I\), il teorema di Lagrange ci dice che:
\[ f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1) \geq 0 \]
essendo \(f'(\xi) \geq 0\) e \(x_2 - x_1 > 0\). Quindi \(f(x_2) \geq f(x_1)\). Se \(f'(\xi) > 0\), allora \(f(x_2) > f(x_1)\).
Corollario 3. Se \(f\) è continua su \([a,b]\), derivabile su \((a,b)\) e \(m_1 \leq f'(x) \leq m_2\) per ogni \(x \in (a,b)\), allora:
\[ m_1(x - a) \leq f(x) - f(a) \leq m_2(x - a) \]
Dimostrazione. Applicando il teorema di Lagrange, sappiamo che esiste \(\xi\) tra \(a\) e \(x\) tale che:
\[ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(\xi) \]
E poiché \(m_1 \leq f'(\xi) \leq m_2\), la tesi segue immediatamente.
