Una raccolta completa di 20 esercizi svolti sugli insiemi numerici: naturali, interi, razionali, irrazionali e reali. Ogni esercizio mostra come riconoscere correttamente gli insiemi di appartenenza di un numero, spiegando passo dopo passo il ragionamento.
Ricordiamo la catena fondamentale:
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
Inoltre, l'insieme dei numeri irrazionali è:
\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Classificare il numero:
\[ 7 \]
Risultato
\[ 7 \in \mathbb{N},\quad 7 \in \mathbb{Z},\quad 7 \in \mathbb{Q},\quad 7 \in \mathbb{R} \]
Svolgimento
Analisi del numero
Il numero \(7\) è un numero intero positivo. Poiché appartiene all'insieme dei numeri naturali, si ha:
\[ 7 \in \mathbb{N} \]
Appartenenza agli insiemi più grandi
Ogni numero naturale è anche un numero intero, quindi:
\[ 7 \in \mathbb{Z} \]
Inoltre ogni numero intero può essere scritto come frazione con denominatore \(1\):
\[ 7=\frac{7}{1} \]
Dunque \(7\) è anche razionale:
\[ 7 \in \mathbb{Q} \]
Infine, ogni numero razionale è un numero reale:
\[ 7 \in \mathbb{R} \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Classificare il numero:
\[ -3 \]
Risultato
\[ -3 \in \mathbb{Z},\quad -3 \in \mathbb{Q},\quad -3 \in \mathbb{R} \]
\[ -3 \notin \mathbb{N} \]
Svolgimento
Esclusione dai numeri naturali
Il numero \(-3\) è negativo. I numeri naturali sono i numeri utilizzati per contare:
\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\} \]
Pertanto:
\[ -3 \notin \mathbb{N} \]
Appartenenza agli interi
L'insieme degli interi contiene i numeri naturali, i loro opposti e lo zero:
\[ \mathbb{Z}=\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\} \]
Quindi:
\[ -3 \in \mathbb{Z} \]
Appartenenza ai razionali e ai reali
Poiché:
\[ -3=\frac{-3}{1} \]
il numero \(-3\) è razionale. Di conseguenza è anche reale.
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Classificare il numero:
\[ \frac{5}{2} \]
Risultato
\[ \frac{5}{2} \in \mathbb{Q},\quad \frac{5}{2} \in \mathbb{R} \]
\[ \frac{5}{2} \notin \mathbb{N},\quad \frac{5}{2} \notin \mathbb{Z} \]
Svolgimento
Verifica della forma razionale
Un numero è razionale se può essere scritto nella forma:
\[ \frac{a}{b},\quad a,b\in\mathbb{Z},\quad b\neq 0 \]
Il numero assegnato è già scritto come rapporto tra due interi:
\[ \frac{5}{2} \]
quindi:
\[ \frac{5}{2}\in\mathbb{Q} \]
Esclusione da naturali e interi
Calcolando il valore decimale:
\[ \frac{5}{2}=2,5 \]
Il numero non è intero, quindi non può essere né naturale né intero.
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Classificare il numero:
\[ \sqrt{2} \]
Risultato
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Svolgimento
Analisi della radice
Il numero \(\sqrt{2}\) è la radice quadrata di \(2\). Poiché \(2\) non è un quadrato perfetto, la sua radice non è un numero intero.
Natura irrazionale
Il numero \(\sqrt{2}\) è un classico esempio di numero irrazionale: non può essere scritto come rapporto tra due interi.
Il suo sviluppo decimale è infinito e non periodico:
\[ \sqrt{2}=1,4142135\dots \]
Quindi:
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} \]
Tuttavia \(\sqrt{2}\) è un numero reale, perciò:
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Classificare il numero:
\[ 0 \]
Risultato
\[ 0\in\mathbb{N},\quad 0\in\mathbb{Z},\quad 0\in\mathbb{Q},\quad 0\in\mathbb{R} \]
Svolgimento
Il ruolo dello zero
Nella convenzione più comune adottata nella scuola italiana, lo zero appartiene all'insieme dei numeri naturali:
\[ 0\in\mathbb{N} \]
Appartenenza agli altri insiemi
Lo zero è anche un numero intero:
\[ 0\in\mathbb{Z} \]
Inoltre può essere scritto come frazione:
\[ 0=\frac{0}{1} \]
quindi è razionale:
\[ 0\in\mathbb{Q} \]
Essendo razionale, è anche reale.
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Classificare il numero:
\[ -\frac{7}{4} \]
Risultato
\[ -\frac{7}{4}\in\mathbb{Q},\quad -\frac{7}{4}\in\mathbb{R} \]
Svolgimento
Forma frazionaria
Il numero assegnato è una frazione con numeratore e denominatore interi:
\[ -\frac{7}{4} \]
Poiché il denominatore è diverso da zero, il numero è razionale:
\[ -\frac{7}{4}\in\mathbb{Q} \]
Perché non è intero
Calcolando il valore decimale:
\[ -\frac{7}{4}=-1,75 \]
Il numero non è intero, quindi non appartiene a \(\mathbb{Z}\) e, di conseguenza, non appartiene nemmeno a \(\mathbb{N}\).
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Classificare il numero:
\[ \pi \]
Risultato
\[ \pi\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Svolgimento
Natura del numero \(\pi\)
Il numero \(\pi\) è un numero reale molto importante in geometria, definito come rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro.
Irrazionalità
Il numero \(\pi\) non può essere scritto come rapporto tra due interi. Il suo sviluppo decimale è infinito e non periodico:
\[ \pi=3,14159265\dots \]
Dunque:
\[ \pi\notin\mathbb{Q} \]
Poiché \(\pi\) appartiene alla retta reale, concludiamo:
\[ \pi\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Classificare il numero:
\[ \sqrt{16} \]
Risultato
\[ \sqrt{16}=4 \]
\[ 4\in\mathbb{N},\quad 4\in\mathbb{Z},\quad 4\in\mathbb{Q},\quad 4\in\mathbb{R} \]
Svolgimento
Calcolo della radice
Prima di classificare il numero, bisogna semplificarlo:
\[ \sqrt{16}=4 \]
Infatti:
\[ 4^2=16 \]
Classificazione
Poiché \(4\) è un numero naturale, appartiene anche agli insiemi successivi:
\[ 4\in\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
Classificare il numero:
\[ 0,\overline{3} \]
Risultato
\[ 0,\overline{3}\in\mathbb{Q},\quad 0,\overline{3}\in\mathbb{R} \]
Svolgimento
Numero decimale periodico
Il numero \(0,\overline{3}\) è un numero decimale periodico, perché la cifra \(3\) si ripete indefinitamente:
\[ 0,\overline{3}=0,3333\dots \]
Trasformazione in frazione
Ogni numero decimale finito o periodico è razionale. In questo caso:
\[ 0,\overline{3}=\frac{1}{3} \]
Pertanto:
\[ 0,\overline{3}\in\mathbb{Q} \]
Essendo razionale, appartiene anche a \(\mathbb{R}\).
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Classificare il numero:
\[ 3+\sqrt{2} \]
Risultato
\[ 3+\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Svolgimento
Analisi dei termini
Il numero \(3\) è razionale, infatti:
\[ 3=\frac{3}{1} \]
Il numero \(\sqrt{2}\), invece, è irrazionale:
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} \]
Somma tra razionale e irrazionale
La somma di un numero razionale e di un numero irrazionale è sempre irrazionale.
Infatti, se \(3+\sqrt{2}\) fosse razionale, sottraendo il numero razionale \(3\) si otterrebbe:
\[ (3+\sqrt{2})-3=\sqrt{2} \]
cioè \(\sqrt{2}\) sarebbe razionale, cosa falsa.
Quindi:
\[ 3+\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Classificare il numero:
\[ 2+\frac{1}{2} \]
Risultato
\[ 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} \]
\[ \frac{5}{2}\in\mathbb{Q},\quad \frac{5}{2}\in\mathbb{R} \]
Svolgimento
Somma dei termini
Scriviamo \(2\) come frazione con denominatore \(2\):
\[ 2=\frac{4}{2} \]
Quindi:
\[ 2+\frac{1}{2}=\frac{4}{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} \]
Classificazione
Il numero \(\frac{5}{2}\) è una frazione tra interi con denominatore diverso da zero. Dunque:
\[ \frac{5}{2}\in\mathbb{Q} \]
Non è invece un numero intero, perché:
\[ \frac{5}{2}=2,5 \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Classificare il numero:
\[ \sqrt{18} \]
Risultato
\[ \sqrt{18}=3\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{18}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Svolgimento
Semplificazione della radice
Scomponiamo \(18\) mettendo in evidenza un quadrato perfetto:
\[ 18=9\cdot 2 \]
Allora:
\[ \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\sqrt{2}=3\sqrt{2} \]
Classificazione
Il numero \(\sqrt{2}\) è irrazionale. Moltiplicandolo per il razionale non nullo \(3\), si ottiene ancora un numero irrazionale.
Perciò:
\[ 3\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Classificare il numero:
\[ \frac{\sqrt{4}}{2} \]
Risultato
\[ \frac{\sqrt{4}}{2}=1 \]
\[ 1\in\mathbb{N},\quad 1\in\mathbb{Z},\quad 1\in\mathbb{Q},\quad 1\in\mathbb{R} \]
Svolgimento
Calcolo della radice
Calcoliamo anzitutto la radice quadrata:
\[ \sqrt{4}=2 \]
Sostituendo:
\[ \frac{\sqrt{4}}{2}=\frac{2}{2}=1 \]
Classificazione
Il numero \(1\) è naturale. Di conseguenza appartiene anche agli interi, ai razionali e ai reali:
\[ 1\in\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
Classificare il numero:
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3} \]
Risultato
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Svolgimento
Analisi dei radicali
I numeri \(5\) e \(3\) non sono quadrati perfetti, quindi:
\[ \sqrt{5}\notin\mathbb{Q},\quad \sqrt{3}\notin\mathbb{Q} \]
Attenzione: la somma di due irrazionali può essere razionale
Va sottolineato un punto delicato: il fatto che \(\sqrt{5}\) e \(\sqrt{3}\) siano entrambi irrazionali non basta per concludere che la loro somma sia irrazionale. Basti pensare al controesempio:
\[ (1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2\in\mathbb{Q} \]
Per dimostrare che \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\) è irrazionale serve un ragionamento per assurdo.
Dimostrazione per assurdo
Supponiamo, per assurdo, che esista un numero razionale \(q\in\mathbb{Q}\) tale che:
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3}=q \]
Elevando al quadrato entrambi i membri:
\[ \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2=q^2 \]
Sviluppando il primo membro:
\[ 5+2\sqrt{15}+3=q^2 \]
cioè:
\[ 8+2\sqrt{15}=q^2 \]
Isolando il radicale:
\[ \sqrt{15}=\frac{q^2-8}{2} \]
Il secondo membro è un numero razionale, perché ottenuto a partire da \(q\in\mathbb{Q}\) con operazioni che non escono da \(\mathbb{Q}\). Quindi anche \(\sqrt{15}\) dovrebbe essere razionale.
L'irrazionalità di \(\sqrt{15}\)
Tuttavia \(15\) non è un quadrato perfetto, perciò:
\[ \sqrt{15}\notin\mathbb{Q} \]
Si è giunti a una contraddizione: l'ipotesi iniziale è falsa.
Conclusione
Pertanto:
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Classificare il numero:
\[ \left(\sqrt{2}\right)^2 \]
Risultato
\[ \left(\sqrt{2}\right)^2=2 \]
\[ 2\in\mathbb{N},\quad 2\in\mathbb{Z},\quad 2\in\mathbb{Q},\quad 2\in\mathbb{R} \]
Svolgimento
Semplificazione dell'espressione
Per ogni numero reale non negativo \(a\), vale:
\[ \left(\sqrt{a}\right)^2=a \]
Applicando la proprietà con \(a=2\):
\[ \left(\sqrt{2}\right)^2=2 \]
Classificazione
Anche se \(\sqrt{2}\) è irrazionale, il suo quadrato è il numero naturale \(2\). Quindi il risultato appartiene a tutti gli insiemi:
\[ 2\in\mathbb{N},\quad 2\in\mathbb{Z},\quad 2\in\mathbb{Q},\quad 2\in\mathbb{R} \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Classificare il numero:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Risultato
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Svolgimento
Razionalizzazione utile per l'analisi
Razionalizziamo il denominatore:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Classificazione
Il numero \(\sqrt{2}\) è irrazionale. Dividendo un irrazionale per il razionale non nullo \(2\), si ottiene ancora un numero irrazionale.
Quindi:
\[ \frac{\sqrt{2}}{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
e dunque:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Classificare il numero:
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2} \]
Risultato
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Svolgimento
Semplificazione del primo radicale
Scomponiamo \(8\):
\[ 8=4\cdot 2 \]
Quindi:
\[ \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2} \]
Riduzione dell'espressione
Sostituendo nell'espressione iniziale:
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2} \]
Classificazione
Poiché \(\sqrt{2}\) è irrazionale, anche l'espressione assegnata è irrazionale:
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Esercizio 18 — livello ★★★★★
Classificare il numero:
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3} \]
Risultato
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Svolgimento
Separazione della frazione
Separiamo i due termini al numeratore:
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}=\frac{3}{3}+\frac{\sqrt{2}}{3} \]
quindi:
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}=1+\frac{\sqrt{2}}{3} \]
Natura del termine \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Mostriamo che \(\frac{\sqrt{2}}{3}\) è irrazionale. Supponiamo per assurdo che sia razionale, cioè che esista \(q\in\mathbb{Q}\) tale che:
\[ \frac{\sqrt{2}}{3}=q \]
Moltiplicando entrambi i membri per \(3\):
\[ \sqrt{2}=3q \]
Ma il prodotto di due numeri razionali è razionale, quindi \(3q\in\mathbb{Q}\). Si avrebbe allora \(\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\), assurdo. Pertanto:
\[ \frac{\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Somma tra razionale e irrazionale
Come dimostrato nell'Esercizio 10, la somma tra un numero razionale e un numero irrazionale è sempre irrazionale.
Poiché \(1\in\mathbb{Q}\) e \(\frac{\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), si conclude:
\[ 1+\frac{\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
e dunque:
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Classificare il numero:
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8} \]
Risultato
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=4 \]
\[ 4\in\mathbb{N},\quad 4\in\mathbb{Z},\quad 4\in\mathbb{Q},\quad 4\in\mathbb{R} \]
Svolgimento
Prodotto tra radicali
Poiché i radicandi sono non negativi, possiamo usare la proprietà:
\[ \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} \]
Quindi:
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16} \]
e:
\[ \sqrt{16}=4 \]
Osservazione importante
Anche se i fattori \(\sqrt{2}\) e \(\sqrt{8}\) sono irrazionali, il loro prodotto può essere razionale. In questo caso il risultato è addirittura naturale.
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Classificare il numero:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
Risultato
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{6}}{2} \]
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Svolgimento
Separazione della frazione
Dividiamo ciascun termine del numeratore per il denominatore:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
Il primo termine vale:
\[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1 \]
quindi:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
Razionalizzazione
Razionalizziamo il secondo termine:
\[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]
Pertanto:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{6}}{2} \]
Classificazione finale
Il numero \(\sqrt{6}\) è irrazionale, perché \(6\) non è un quadrato perfetto. Di conseguenza anche \(\frac{\sqrt{6}}{2}\) è irrazionale.
La somma tra il razionale \(1\) e l'irrazionale \(\frac{\sqrt{6}}{2}\) è irrazionale.
Quindi:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Conclusione
Per classificare correttamente un numero, conviene sempre procedere in questo ordine:
- semplificare l'espressione, se possibile;
- verificare se il risultato è naturale;
- verificare se è intero;
- verificare se può essere scritto come frazione;
- se non è razionale ma appartiene alla retta reale, classificarlo come irrazionale.
La relazione fondamentale tra gli insiemi numerici è:
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]
mentre i numeri irrazionali sono tutti e soli i numeri reali che non sono razionali:
\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]